Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 7032

Скачиваний: 12

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

3.6. Следствия унитарности

195

Эта формула верна в первом порядке по Vw, но во всех порядках по Vs. Такое приближение очень часто используется в физике; например, элемент S-матрицы для β- èëè γ-распада ядер вычисля-

ется с помощью формулы (3.5.24), где Vs — сильное ядерное взаимодействие, Vw — слабое ядерное или электромагнитное взаимодействие, соответственно, а Ψsβ− è Ψsα+ — конечное и начальное

состояния ядер.

3.6. Следствия унитарности

Условие унитарности S-матрицы позволяет получить интересное и полезное соотношение, связывающее амплитуду Mαα рассеяния вперед для произвольного многочастичного состояния α ñ ïîë-

ной вероятностью всех реакций в этом состоянии. Напомним, что в общем случае, когда состояния β è α могут как совпадать, так и не

совпадать, S-матрица может быть записана в виде (3.3.2):

Sβα = δ(β − α) − 2πiδ4 (pβ − pα )Mβα .

Тогда условие унитарности принимает вид

δ(γ − α) = z dβSβγ* Sβα = δ(γ − α) − 2πiδ4 (pγ − pα )Mγα

+ 2πiδ4 (pγ − pα )Mαγ* + 4π2 z dβδ4 (pβ − pγ )δ4 (pβ − pα )Mβγ* Mβα .

Сокращая δ(γ − α) и множитель 2πδ4(pγ − pα), находим, что при pγ = pα

0 = −iMγα + iMαγ* + 2πz dβδ4 (pβ − pα )Mβγ* Mβα .

(3.6.1)

Это соотношение особенно полезно в частном случае α = γ, когда

оно принимает вид

Im Mαα = −πz dβδ4

(pβ − pα )

Mβα

2

(3.6.2)

.

Используя (3.4.11), это выражение можно представить в виде формулы для вероятности всех реакций, вызываемых данным начальным состоянием α в объеме V:

196

Глава 3. Теория рассеяния

X

dΓ(α → β)

−

−

Nα z dβδ4

Γα ≡ Y dβ

= (2π)3Nα

2 V1

dβ

Z

= −

1

(2π)3Nα −2 V1−Nα Im Mαα .

π

2

(pβ − pα ) Mβα

(3.6.3)

В частности, если α −двухчастичное состояние, можно пере-

писать последнюю формулу как

Im Mαα = −

uασα

,

(3.6.4)

16π3

ãäå uα — относительная скорость (3.4.17) в состоянии α è σα — ïîë-

ное сечение в этом состоянии, определяемое формулой (3.4.15) как

σα ≡ z dβdσ(α → β) / dβ = (2π)4 uα−1 z dβ

Mβα

2 δ4 (pβ − pα ). (3.6.5)

Обычно эта формула записывается несколько иначе с помощью амплитуды рассеяния f(α → β). Из формулы (3.4.30) следует,

что дифференциальное сечение двухчастичного рассеяния в системе центра масс равно

dσ(α → β)

=

(2π)4 k′E′E′E E

2

1 2 1 2

Mβα

,

(3.6.6)

dΩ

kE2

ãäå k′ è k − величина импульсов начального и конечного состояний.

Поэтому определим амплитуду рассеяния следующим образом *:

4π

2

′ ′ ′

f(α → β) ≡ −

k E1E2E1E2

Mβα ,

(3.6.7)

E

k

так что дифференциальное сечение записывается просто как

dσ(α → β) = f(α → β) 2 . (3.6.8)

Ω

d

* Заметим, что фаза f условна и выбирается в соответствии с интерпретацией f в рамках волновой механики 21 как коэффициента при расходящейся волне в решении стационарного уравнения Шредингера. Использованная нами нормировка f несколько отличается от общепринятой для неупругого рассеяния. Обычно f определяют так, что в выражении для дифференциального се- чения появляется отношение конечной и начальной скоростей.

3.6. Следствия унитарности

197

В частности, для упругого двухчастичного рассеяния

f(a ® b) º -

4p2E E

1 2

Mβα .

(3.6.9)

E

С помощью выражения (3.4.18) для относительной скорости uα ìîæ-

но переписать условие унитарности (3.6.4) в виде

k

Im f(a ® a) =

4p sα .

(3.6.10)

Такая форма записи условия унитарности (3.6.4) носит название

оптической теоремы 22.

Можно получить любопытное следствие оптической теоремы, говорящее многое о картине рассеяния при высоких энергиях. Следует ожидать, что амплитуда рассеяния f есть гладкая функция угла, так что должен существовать некоторый телесный угол DW,

в пределах которого величина |f|2 почти равна (например, с точностью до множителя 2) своему значению при рассеянии вперед. От-

сюда полное сечение ограничено величиной

sα ³ z

f

2dW ³

1

f(a ® a)

2 DW ³

1

Im f(a ® a)

2 DW.

2

2

С помощью (3.6.10) находим верхний предел на DW:

DW £ 32p2

k2sα .

(3.6.11)

Как мы увидим в следующем разделе, обычно полные сечения являются при больших энергиях постоянными или медленно растут с энергией. Поэтому из (3.6.11) вытекает, что телесный угол вокруг направления вперед, в пределах которого дифференциальное сече- ние примерно постоянно, сужается по меньшей мере как 1/k2 ïðè k ® ¥. Этот все более узкий пик в направлении вперед при больших

энергиях называется дифракционным пиком.

Возвращаясь к общему случаю реакций с участием произвольного числа частиц, можно использовать (3.6.2) совместно с CPT èí-

вариантностью, чтобы установить связь полных вероятностей взаимодействия частиц и античастиц. Так как оператор CPT

198

Глава 3. Теория рассеяния

антиунитарен, его сохранение не приводит в общем случае к ка- ким-то простым соотношениям между процессом α → β и процес-

сом, в котором все частицы заменены на свои античастицы. Однако из этой инвариантности следует связь между процессом и обратным процессом с участием античастиц. Используя те же аргументы, что и при выводе формулы (3.3.46) из условия инвариантности по отношению к обращению времени, можно показать, что CPT

инвариантность требует, чтобы S-матрица удовлетворяла условию:

Sβ

α

= SCP Tα

CP T β ,

(3.6.12)

,

,

где CPT означает, что мы должны перевернуть все z-компоненты спинов, заменить все частицы на соответствующие античастицы и умножить матричный элемент на разные фазовые множители для частиц в начальном состоянии и на комплексно сопряженные множители для частиц в конечном состоянии. Так как из CPT инвариан-

тности следует, что массы частиц и соответствующих античастиц равны, это же соотношение выполняется и для коэффициента, стоящего при δ4(pα − pβ) â Sβα:

Mβ,α = MCP T α,CP T β .

(3.6.13)

В частности, когда начальное и конечное состояния одинаковы, все фазовые множители сокращаются и (3.6.13) принимает вид

Mp σ

n

;p

σ

2

n

2

;...;p σ n

;p

σ

2

n

2

;...

1

1

1

2

1

1

1

2

= Mp

−σ

nc ;p

−σ

nc

−σ

nc ;p

−σ

nc

;... ,

(3.6.14)

2

;...;p

1

2

1

1

1

2

2

1

1

2

2

где верхний индекс с у n означает античастицу для n. Теперь из обобщенной оптической теоремы (3.6.2) следует, что полная вероятность процесса из данного начального состояния, содержащего определенный набор частиц, равна полной вероятности процесса, в начальном состоянии которого содержатся соответствующие античастицы с противоположными значениями проекций спинов:

Γp σ n

;p

σ

2

n

2

;...

= Γ

− σ

n

c

;p

−σ

n

c

;...

.

(3.6.15)

1 1 1

2

p

1

2

2

1

1

2

Применяя это утверждение к одночастичным состояниям, видим, что вероятность распада любой частицы равна вероятности

Смотрите также файлы