Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

резонанс при рассеянии альфа-частицы на дочернем ядре. Например, наинизшее по энергии состояние ядра Ве8 нестабильно по отношению к распаду на две альфа−частицы и проявляется как резонанс в Не4−Íå4 рассеянии. (Помимо кулоновского барьера,

существуют центробежные барьеры, позволяющие продлить время жизни альфа-, бета- и гамма-нестабильных ядер большого спина.)

в) Сложные системы могут быть почти стабильными по чисто статистическим причинам, в отсутствие каких-то потенциальных барьеров или слабых взаимодействий. Например, возбужденное состояние тяжелого ядра способно распасться только в случае, когда из-за статистической флуктуации основная часть энергии сконцентрируется на отдельном нейтроне. Такое состояние проявляется как резонанс при рассеянии нейтронов на дочернем ядре.

Описанные механизмы образования долгоживущих состояний весьма различны. Поэтому поистине счастливым обстоятельством является то, что большинство свойств резонансов следует только из условия унитарности безотносительно к динамическому механизму, приводящему к образованию данного резонанса.

Прежде всего, рассмотрим энергетическую зависимость матричного элемента реакции вблизи резонанса. Зависимость от времени волнового пакета z dα g(α)Φα+ exp(−iEαt) из ин-состояний

определяется формулой (3.1.19):

z dα g(α)Ψα+e− iEαt = z dα g(α)Φα+ e− iEαt

e− iEαtg(α)T+ + z dβ Φβ z dα Eα − Eβ + βαiε .

Как было отмечено в разделе 3.1, полюс функции Tβα+ в нижней полуплоскости комплексной плоскости Eα дает вклад во второе слагаемое, которое экспоненциально затухает при t → ∞. Конкретно, полюс в точке Eα = ER − iΓ/2 приводит к слагаемому в амплитуде, ведущему себя как exp(−iERt − Γt/2). Оно отвечает некоторому

состоянию, вероятность которого уменьшается со временем по закону exp(−Γt). Мы заключаем отсюда, что долгоживущее состояние с энергией ER и шириной Γ соответствует слагаемому в амплитуде

рассеяния, меняющемуся как

214 Глава 3. Теория рассеяния

Далее будет удобно использовать в качестве базиса обсуждавшиеся в предыдущем разделе ортонормированные дискретные многочастич- ные состояния ΦpEN; здесь p и Е − полные импульс и энергия, N −

индекс, принимающий только дискретные значения (хотя их может быть бесконечно много). В этом базисе S−матрица может быть

записана в следующем виде:

Мы считаем, что вблизи резонанса амплитуда в системе центра масс S(0, E) ≡ S(E) имеет вид

ãäå S0 и R примерно постоянны, по крайней мере, в относительно узкой области энергий |E − ER| ≤ Γ.

В таком базисе условие унитарности S−матрицы принимает

вид обычного матричного уравнения

Подстановка формулы (3.8.3) показывает, что нерезонансная фоновая S−матрица унитарна:

а матрица вычетов R удовлетворяет двум условиям:

Эти условия можно записать в более ясной форме, полагая

В терминах А вышеприведенные условия унитарности имеют простой вид

Любая такая эрмитова идемпотентная матрица называется проекционной матрицей. Эти матрицы всегда можно выразить в виде суммы диад из ортонормированных векторов u(r):

Тогда дискретная часть S−матрицы имеет вид

Можно считать, что каждое слагаемое в сумме по r возникло от отдельного резонансного состояния, причем все эти состояния имеют одни и те же значения ER è Γ.

Какое отношение эти выражения имеют к вероятностям и сече- ниям?

Для простоты не будем сначала учитывать нерезонансное фоновое рассеяние, положив S0N′N равным δN′N. К общему случаю мы

вернемся чуть позже. Тогда для описанных в предыдущем разделе двухчастичных дискретных состояний в системе центра масс формула (3.8.11) принимает вид

Sj′σ′l′s′n′,jσlsn (E) = δj′jδσ′σδl′lδs′sδn′n

Во всех случаях метка r включает индекс σR, задающий z−

компоненту полного углового момента резонансного состояния; для состояния с полным моментом jR величина σR принимает 2jR + 1

значение. Если нет других вырождений, индекс r сводится к значению σR, è

ãäå ulsn — набор комплексных амплитуд (по теореме Вигнера−Эккарта не зависящих от σ). Представление (3.8.12) задает амплитуду Sj,

определенную формулой (3.7.7):

Формула (3.8.10) теперь принимает вид

где точки означают положительный вклад любых состояний, содержащих три и более частиц. Как мы увидим, величины |ulsn|2 имеют смысл относительных вероятностей распада резонансного состояния в различные возможные двухчастичные состояния.

Теперь формула (3.7.12) дает полное сечение всех реакций в канале n:

Это одна из форм записи знаменитой формулы Брейта−Вигнера для

одного уровня 27.

Те же результаты можно использовать и для вычисления сечения резонансного рассеяния из начального двухчастичного канала n в конечной двухчастичный канал n′. Подстановка формулы (3.8.14)

â (3.7.10) äàåò:

Отсюда видно, что вероятности распада резонансного состояния в любой из конечных двухчастичных каналов n′ пропорциональны

Γn′. Согласно (3.8.15) сумма всех Γn (включая вклады от конечных

состояний, содержащих три и более частицы) просто равна полной вероятности распада Γ, поэтому можно заключить, что Γn åñòü âåðî-

ятность распада резонансного состояния по каналу n.

Из формул (3.8.16) и (3.8.18) следует, что у соответствующих величин имеется характерный резонансный пик при значении энергии ER с шириной (т. е. полной шириной пика на половине его высоты), равной вероятности распада Γ. (Индивидуальные Γn часто называют парциальными ширинами.) Так как Γn ≤ Γ, полное сечение

в пике резонанса, грубо говоря, ограничено квадратом длины волны (2π/k)2. Это правило, что в области отдельного резонансного пика

сечение ограничено квадратом длины волны, универсально и применимо даже в классической физике (где роль условия унитарности выполняет закон сохранения энергии), например, при резонансном взаимодействии звуковых волн с пузырьками воды в море, или гравитационных волн с гравитационной антенной. (В последнем случае относительный вклад колебаний в любой лабораторной массе, приводящих к потере энергии за счет гравитационного излучения, очень мал, поэтому даже в резонансе сечение неизмеримо меньше квадрата длины волны 28.)

Наконец, часто бывает, что резонанс регистрируется, но измерения энергии недостаточно точны, чтобы разрешить его ширину. В этом случае экспериментально измеряется интеграл от полного сечения по области в окрестности резонансного пика. Для полного

Таким образом, подобные эксперименты могут определить только парциальную ширину распада резонансного состояния в состояние начальных частиц, но не полную ширину или относительные вероятности распадов.

Изложенный формализм можно применить и тогда, когда резонансные состояния с данным значением z-компоненты спина образуют мультиплет, связанный с какой-то группой симметрии. Например, если имеет место изоспиновая симметрия, то для резонанса с полным изоспином TR индекс r, нумерующий резонансные состояния, включает не только z−компоненту σR углового момен-

та, но и третью проекцию изоспина tR, принимающую значения