ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 7044
Скачиваний: 12
3. 7. Разложения по парциальным волнам |
209 |
÷òî ïðè k → 0 вероятность экзотермической реакции ведет себя как
константа. Однако вероятность поглощения при прохождении пучка через мишень заданной толщины определяется именно сечением, а не вероятностью реакции, так что для ряда веществ типа бора наличие множителя 1/k в сечении приводит к очень большой вероятности поглощения медленных нейтронов.
Эндотермические реакции
В этом случае реакция запрещена, пока k не достигнет определенного порогового значения, при котором k′ = 0. В области чуть
выше порога δl′lδs′sδn′n − Slj′s′n′ lsn ведет себя как (k′)l+1. Сечение (3.7.11) в этом случае ведет себя как, (k′)2l′+1, ãäå l′ − наименьший угловой
момент состояния, которое может возникнуть на пороге. Чаще всего l′ = 0, так что сечение реакции растет над порогом как k′, ò. å. êàê E − Eпорог . (Именно так обстоит дело в реакциях ассоциативного
рождения странных частиц или образования электронно-пози- тронных пар при рассеянии фотонов.)
Упругие реакции
Âэтом случае k = k′, так что обе эти величины стремятся
êнулю. (Так бывает в случае n′ = n, или в случае, когда состояние n′ содержит частицы из того же изоспинового мультиплета, что и
n.) В упругом рассеянии всегда участвуют парциальные волны с l = l′ = = 0, так что в пределе k → 0 амплитуда рассеяния (3.7.8)
стремится к константе:
f(k, σ |
,−k, σ |
2 |
, n → k′, σ′ |
,−k′, σ′ , n′) |
→ |
|||||||||
1 |
1 |
2 |
||||||||||||
å |
C |
s1s2 |
(s, σ; σ |
, σ |
2 |
)C ′ ′ |
(s, σ; σ′ , σ′ )a |
(n → n′), |
(3.7.19) |
|||||
1 |
s1s2 |
1 2 |
s |
|||||||||||
sσ
где a — постоянная величина, известная как длина рассеяния и определяемая как предел
S0ssn′,0sn → δn′,n + 2ikas (n → n′) , |
(3.7.20) |
210 |
Глава 3. Теория рассеяния |
ïðè k = k′ = 0. Суммируя 4π|f|2 по спинам конечных частиц и усредняя
по спинам начальных частиц, находим полное сечение перехода n → n′ ïðè k = k′ = 0:
σ(n → n′; k = 0) = |
4π |
å(2s + 1)as2 (n → n′). (3.7.21) |
||
(2s |
+ 1)(2s |
+ 1) |
||
1 |
2 |
s |
||
Классическим примером использования этой формулы является нейтрон-протонное рассеяние, когда существуют две длины рассеяния, причем синглетная по спину длина рассеяния a0 существенно больше триплетной по спину длины a1.
Разложение по парциальным волнам можно использовать и для грубой оценки поведения сечения при больших энергиях. Можно ожидать, что с уменьшением длин волн рассеяние все более должно описываться на классическом языке: прицельный параметр частицы с импульсом k и орбитальным угловым моментом l должен равняться l/k, так что при рассеянии частица попадает в диск радиусом R, если l ≤ kR. Это можно интерпретировать как утвержде-
ние, что матричные элементы S-матрицы
j |
0, |
l << kRn |
||
Slsn,lsn |
→ {1, |
l >> kRn |
, |
(3.7.22) |
ãäå Rn — нечто вроде радиуса взаимодействия для канала n. При заданном l >> s существуют 2s + 1 значений j, причем все эти зна-
чения достаточно близки к l, так что приближенно 2j + 1 g 2l + 1, и сумма по j и s в (3.7.12) сводится к множителю порядка
å(2j + 1) = (2l + 1)å(2s + 1) = (2l + 1)(2s1 + 1)(2s2 + 1).
js |
s |
Поэтому полное сечение при k . 1/Rn определяется из (3.7.12) как
σtotal (n; E) → |
2π |
å(2l + 1) → 2πRn2 . |
(3.7.23) |
k2 |
|||
l≤kRn |
Совершенно аналогично из соотношения (3.7.10) находим упругое сечение рассеяния
σ(n → n; E) → πRn2 . |
(3.7.24) |
212 |
Глава 3. Теория рассеяния |
вероятность распада R мала, сечение при значении энергии в окрестности промежуточного состояния R очень быстро изменяется (обычно появляется острый максимум), проявляя резонансное поведение.
Мы увидим, что поведение сечений вблизи резонанса достаточно хорошо определяется только одним условием унитарности. Это хорошее известие, поскольку механизмы образования почти стабильных состояний весьма различны.
а) Простейшая возможность заключается в том, что гамильтониан можно представить в виде суммы двух слагаемых: «сильного» гамильтониана H0 + Vs, причем частица R является собственным состоянием этого гамильтониана, и слабого возмущения Vw, за счет которого R распадается по разным каналам, включая начальное и конечное состояния α è β рассматриваемого процесса соударения.
Например, существует нейтральная частица Z0 с j = 1 и массой 91 ГэВ, которая была бы стабильной в отсутствие электрослабых взаимодействий. Эти взаимодействия позволяют Z0 распадаться на электрон-позитронные пары, мюон-антимюонные пары и т.д., однако полная ширина распада много меньше массы Z0. В 1989 году частица Z0 наблюдалась как резонанс * в электрон-позитронных соударениях в ЦЕРНе и Станфорде в реакциях аннигиляции
e+ + e– → Z0→ e+ + e–, e+ + e– → Z0 → μ+ + μ– è ò. ï.
б) В ряде случаев частица имеет большое время жизни, потому что существует потенциальный барьер, не позволяющий составным частям разлететься. Классическим примером является альфа-распад ядер: энергетически допустим вылет из ядра альфа- частицы (ядра атома Не4), однако сильное электростатическое отталкивание между альфа-частицей и ядром образует запрещенную область вокруг дочернего ядра, в которой по классическим законам альфа-частица находиться не может. Распад тем не менее происходит за счет квантово-механического подбарьерного перехода и экспоненциально мал. Такое нестабильное состояние проявляется как
* Между прочим, этот пример показывает, что резонансное состояние должно распадаться всего лишь относительно медленно. Время жизни Z0-бозона равно 2,6 × 10-25 с, и этого времени не хватает даже на то, чтобы
Z0, двигаясь почти со скоростью света, пересек атомное ядро. Важно то, что скорость распада в 36 раз меньше, чем скорость осцилляций $/MZ волновой функции Z0 в системе покоя.