Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Суммирование (3.7.10) по всем двухчастичным каналам дает полное сечение всех упругих или неупругих двухчаcтичных реакций:

Для сравнения, с помощью формул (3.7.8), (3.7.9), (3.7.4) и правил сумм для коэффициентов Клебша−Гордана получаем усредненную

по спинам амплитуду рассеяния вперед:

Тогда с помощью оптической теоремы (3.7.10) находим полное сечение:

Если во входном канале n при энергии Е открыты только двух- частичные каналы, то матрица Sj(E) (или по крайней мере ее подматрица, включающая канал n) унитарна, и поэтому

так что выражения (3.7.12) и (3.7.11) совпадают. С другой стороны, если открыты каналы, включающие три и более частиц, то разность выражений (3.7.12) и (3.7.11) определяет полное сечение рождения дополнительных частиц:

206 Глава 3. Теория рассеяния

которое должно быть положительно.

Разложение по парциальным волнам особенно полезно для процессов, у которых соответствующая часть S-матрицы диагональна. Это имеет место, если, например, входной канал n содержит ровно две бесспиновые частицы, а все прочие каналы при данной энергии закрыты, как в процессах π+π+ èëè π+π0 рассеяния при энергиях

ниже порога рождения дополнительных пионов (электромагнитными и слабыми взаимодействиями пренебрегаем). Для пары бесспиновых частиц j = l, и благодаря сохранению углового момента S- матрица диагональна. Может быть и так, что S-матрица диагональна в определенных процессах с участием частиц со спином. Так, в пионнуклонном рассеянии полный момент системы может принимать зна- чения j = l + 1/2 и j = l − 1/2, но при заданном j эти два состояния

имеют противоположную четность и не могут быть связаны ненулевыми матричными элементами S−матрицы. В любом случае, если

для некоторых n и E все элементы S−матрицы SN′,jlsn(E, 0) обращаются в нуль, кроме случая, когда N′ − это двухчастичное состояние

j, l, s, n, то из условия унитарности следует, что

ãäå δjlsn(E) − действительная фаза, обычно именуемая фазовым

сдвигом. Эта формула часто используется и в случае, когда двухчастичная часть S−матрицы диагональна, но открыты каналы,

содержащие три и более частиц. В таких случаях фазовый сдвиг должен иметь положительную мнимую часть, чтобы обеспе- чить положительность (3.7.14). В случае действительных фазовых сдвигов упругое и полное сечения определяются из (3.7.10) и (3.7.12) в виде

Этот известный результат обычно выводится в рамках нерелятивистской квантовой механики путем исследования в координатном пространстве поведения волновой функции частицы в заданном потенциальном поле. Представленное здесь доказательство имеет целью, во-первых, показать, что разложение по парциальным волнам применимо для упругого рассеяния и при релятивистских скоростях, и, во-вторых, подчеркнуть, что оно не зависит от конкретных динамических предположений, а вытекает из условия унитарности и принципов инвариантности.

Часто полезно ввести фазовые сдвиги и в задачах, когда несколько открытых каналов образуют неприводимые представления какой-то внутренней группы симметрии. Классическим примером является изотопическая симметрия, при наличии которой индекс канала n включает значения изоспинов Т1, Ò2 двух частиц и третьих проекций изоспина t1, t2. Состояния в канале n можно выразить в виде линейных комбинаций неприводимых представлений со зна- чением полного изоспина Т и третьих проекций t,причем коэффициенты разложения определяются знакомыми коэффициентами Клебша−Гордана CT1T2 (T, t; t1, t2 ). Предположим, что для интересую-

щих нас каналов при заданной энергии S-матрица диагональна по l, s, j, T, t. Условие унитарности и требование изотопической симметрии позволяют записать S-матрицу в виде:

ãäå δj l sT(E) − действительный фазовый сдвиг, который в соответствии с теоремой Вигнера−Эккарта не зависит от t. С помощью (3.7.10)

можно вычислить парциальные сечения, а из (3.7.12) следует, что полное сечение

4π

σtotal (t1, t2 ; E) = k2 (2s1 + 1)(2s2 + 1)

× å(2j + 1)CT1T2 (T, t; t1, t2 )2 sin2 δjlsT (E). (3.7.18)

jlsTt

Например, в пион−пионном рассеянии отличны от нуля фазовые сдвиги δl l 0T(E) при Т = 0 и Т = 2 для каждого четного l и при Т = 1 для нечетного l, а в пион−нуклонном рассеянии — фазовые сдвиги δ ñ Ò = 1/2 èëè Ò = 3/2.

208 Глава 3. Теория рассеяния

Ряд полезных сведений о пороговом поведении амплитуд рассеяния и фазовых сдвигов можно получить из рассмотрения их аналитических свойств, которые почти не зависят от любых динамических предположений. Если отсутствуют особые обстоятельства, порождающие сингулярности в импульсном пространстве, можно

жен быть аналитической функцией * 3-импульсов k и k′ в окрестно-

ñòè k = 0 èëè k′ = 0 (при упругом рассеянии k = k′ = 0).

Обращаясь к разложению (3.7.8) амплитуды М по парциальным

kl +12k′l +12 ïðè k èëè k′, стремящихся к нулю. Отсюда, для малых k

è/èëè k′ существенный вклад в амплитуду рассеяния дает только низ-

шая парциальная амплитуда в начальном и/или конечном состоянии. Возможны три случая.

Экзотермические реакции

Âэтом случае k′ стремится к конечному значению при k → 0,

èв таком пределе δl′lδs′sδn′n − Slj′s′n′ lsn ведет себя как kl+1. Сечение (3.7.11) ведет себя как k2l−1, ãäå l − наименьший, орбитальный угло-

вой момент, при котором идет реакция. Чаще всего l = 0, так что сечение реакции ведет себя как 1/k. (Именно так ведет себя, например, сечение поглощения медленных нейтронов сложными ядрами или сечение аннигиляции электронно−позитронных пар в фотоны

при низких энергиях, если отбросить эффекты более высокого порядка, связанные с кулоновскими силами.) Вероятность реакции равна сечению, умноженному на поток, пропорциональный k, так

*Например, в борновском приближении (3.2.8) амплитуда М пропорциональна фурье-образу матричных элементов взаимодействия в координатном пространстве и поэтому аналитична при нулевом импульсе, если только эти матричные элементы достаточно быстро убывают на больших расстояниях. Главным исключением является рассеяние, обусловленное дальнодействующими силами типа кулоновских.