Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

242 Глава 4. Принцип кластерного разложения

любая комбинация пространственных координат стремится к бесконечности.

На самом деле, это слишком сильное требование. Из трансляционной инвариантности следует, что связная часть S-матрицы, как и сама S-матрица, может зависеть только от разностей векторов координат и поэтому вообще не изменяется, если все xi è x′j

изменяются совместно, так что их разность остается постоянной. Отсюда вытекает, что элементы SC в импульсном пространстве, как и аналогичные элементы S, должны быть пропорциональны трехмерной дельта-функции, обеспечивающей сохранение импульса

Казалось бы, нет никаких проблем: принцип кластерного разложения требует лишь, чтобы величина (4.3.8) обращалась в нуль, когда разности некоторых координат xi è/èëè x′j становятся

большими. Однако если сама величина С в (4.3.9) содержит дополнительные дельта-функции от линейных комбинаций трехмерных импульсов, этот принцип не будет удовлетворяться.

Например, пусть в С имеется дельта-функция, требующая, чтобы сумма p′j è −pj обращалась бы в нуль для некоторого подмно-

жества частиц. Тогда выражение (4.3.8) не будет изменяться, если все x′i è xj для частиц в этом подмножестве будут изменяться с постоянной разностью и удаляться от всех других значений x′k è xl,

что противоречит принципу кластерного разложения. Грубо говоря, этот принцип утверждает, что в отличие от самой S-матрицы ее связная часть содержит только одну дельта-функцию закона сохранения импульса.

Чтобы сделать это утверждение более точным, можно сказать, что коэффициентная функция в (4.3.9) является гладкой функцией своих импульсных меток. Но насколько гладкой? Проще

ненциально быстро убывает, если любые x и x′ очень далеки от любых других x и x′. Однако экспоненциальное убывание SC íå

является существенной частью принципа кластерного разложения, а требование аналитичности выполняется не во всех теориях. Особенно это проявляется в теориях с безмассовыми частицами, где SC может иметь полюса при определенных значениях p и p′.

Например, как будет видно в гл. 10, если безмассовая частица может испускаться в переходе 1 → 3 и поглощаться в переходе 2 → 4, S34C ,12 будет содержать слагаемое, пропорциональное множителю 1/(р1 − ð3)2. После преобразования Фурье такие полюсы

породят в SC′ ′ ..., ... слагаемые, убывающие лишь как отрицатель-

x1x2 x1x2

ная степень разности координат1. Нет нужды формулировать прин-

цип кластерного разложения столь жестко, чтобы исключить подобное поведение. Таким образом, условие «гладкости» SC следует понимать так, что допускаются различные полюсы и разрезы при определенных значениях р и р′, но не столь серьезные сингулярно-

сти, как дельта-функции.

4.4. Структура взаимодействия

Зададимся вопросом, какого типа гамильтониан приводит к S-матрице, удовлетворяющей принципу кластерного разложения. Именно здесь полностью раскрывает свои возможности формализм операторов рождения и уничтожения. Ответ может быть сформулирован в виде следующей теоремы.

S-матрица удовлетворяет принципу кластерного разложения, если (и насколько я знаю, только если) гамильтониан может быть записан в виде разложения (4.2.8):

где коэффициентные функции hNM содержат единственную дель- та-функцию закона сохранения трехмерного импульса (мы на короткое время используем более развернутые обозначения):

Состояния Φα è Φβ можно представить, как и в (4.2.2), в виде произведения операторов рождения, действующих на вакуум Φ0, à

оператор V(t) сам есть сумма произведений операторов рождения и уничтожения, так что каждое слагаемое в сумме (4.4.3) можно записать как сумму средних по вакууму от произведений операторов рождения и уничтожения. Используя соотношения коммутации или антикоммутации (4.2.5), можно переместить по очереди каждый оператор уничтожения направо, так, чтобы он оказался правее всех операторов рождения. При каждой перестановке оператора уничтожения правее оператора рождения возникают два слагаемых, что видно, если записать (4.2.5) как

a(q′)a† (q) = ±a† (q)a(q′) + δ(q′ − q) .

Перемещение других операторов рождения правее оператора унич- тожения в первом слагаемом порождает все больше новых слагаемых. Однако из формулы (4.2.4) следует, что любой оператор унич- тожения, переместившийся до конца направо, действует на Φ0, ÷òî

дает нуль, так что в конце концов останутся только слагаемые с дельта-функциями. Таким образом, среднее по вакууму от произведения операторов рождения и уничтожения дается суммой различных слагаемых, каждое из которых равно произведению дель- та-функций и знаков ±, происходящих от коммутаторов или анти-

коммутаторов. Отсюда следует, что каждое слагаемое в (4.4.3) можно представить как сумму членов, каждый из которых является произведением дельта-функций и знаков ±, происходящих от ком-

мутаторов или антикоммутаторов, а также тех множителей, которые вносят операторы V(t), проинтегрированным по всем временам, а также проинтегрированным и просуммированноым по импульсам, спинам и сортам частиц в аргументах дельта-функций.

Каждое возникающее таким образом слагаемое можно символически изобразить в виде диаграммы. (Это еще не полный формализм диаграмм Фейнмана, поскольку мы еще не собираемся сопоставлять элементам диаграмм конкретные числовые величины. В данном контексте мы используем диаграммы только как способ проследить за возникающими дельта-функциями от 3-импульсов.) Нарисуем n точек, называемых вершинами, по одной для каждого

оператора V(t). Для каждой дельта-функции, возникающей при протаскивании оператора уничтожения, находящегося в одном из операторов V(t), направо через оператор рождения, отвечающий состоянию Φα, нарисуем линию, идущую снизу и входящую в соответ-

ствующую вершину диаграммы. Для каждой дельта-функции, возникающей при протаскивании оператора уничтожения, отвечающего состоянию, сопряженному конечному состоянию Φβ, направо

через оператор рождения в одном из операторов V(t), нарисуем линию, исходящую из соответствующей вершины и идущую наверх. Для каждой дельта-функции, возникающей при протаскивании оператора уничтожения из одного V(t) через оператор рождения в другом V(t), нарисуем линию между соответствующими вершинами. Наконец, для каждой дельта-функции, получающейся при протаскивании оператора уничтожения, отвечающего сопряженному конечному состоянию, через оператор рождения в начальном состоянии, нарисуем линию, идущую снизу вверх прямо сквозь диаграмму. Каждая из дельта-функций, связанных с одной из этих линий, выражает равенство импульсов пары операторов рождения и унич- тожения, отвечающих этой линии. Кроме того, есть по крайней мере одна дельта-функция, которую вносит каждая из вершин и которая выражает сохранение полного 3-импульса в вершине.

Подобная диаграмма либо связна (каждая точка связана с другой точкой системой линий), либо несвязна, но может быть разбита на некоторое число связных кусков. Оператор V(t), ассоциированный с вершиной в какой-то связной компоненте диаграммы, фактически коммутирует с оператором V(t), ассоциированным с любой вершиной в любой другой связной компоненте, поскольку для такой диаграммы отсутствуют какие-либо члены, отвечающие тому, что оператор уничтожения в одной вершине уничтожает частицу, порожденную оператором рождения в другой вершине − в противном

случае эти две вершины оказались бы в одной связной компоненте. Итак, матричный элемент в (4.4.3) можно выразить как сумму произведений вкладов от каждой связной компоненты диаграммы:

dΦβ ,TlV(t1), . . . V(tn )qΦα i

на кластеры