Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 7078

Скачиваний: 12

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

4.4. Структура взаимодействия

251

′ ′ ′

′ ′

, p1p2 )δ

3

′

− p3 ) m перестановки.

v3,3 (p1p2p3

, p1p2p3 ) = −v2,2 (p1p2

(p3

(4.4.10)

Однако это означало бы, что каждое слагаемое в v3,3 содержит два дельта-функционных множителя (напомним, что v2,2(p′1p′2,p1p1) уже содержит множитель δ3(p′1 + p′2 − p1 − p2)), что нарушает принцип

кластерного разложения. Итак, в теории, удовлетворяющей этому принципу, существование процессов рассеяния с участием двух частиц делает неизбежным существование процессов рассеяния с участием трех и более частиц.

* * *

Обращаясь к решению задач трех тел в квантовых теориях, удовлетворяющих принципу кластерного разложения, следует заметить, что слагаемое v3,3 в формуле (4.4.9) не причиняет особого беспокойства, но дополнительные дельта-функции в других слагаемых осложняют непосредственное решение уравнения Липпмана−

Швингера. Проблема заключается в том, что появление дель- та-функций делает ядро [Eα − Eβ + iε]−1Vβα этого уравнения

квадратично неинтегрируемым, даже если исключить все дельтафункции, отражающие общий закон сохранения импульса. Как следствие, ядро нельзя аппроксимировать конечной матрицей даже очень большого ранга. Чтобы решить задачу взаимодействия трех или более частиц, необходимо заменить уравнение Липпмана−

Швингера таким уравнением, которое содержало бы связную правую часть. Подобные уравнения для рассеяния трех или более частиц были построены 8,9, и их удалось рекурсивно решить для ряда задач нерелятивистской теории рассеяния, но эти уравнения оказались мало пригодными в релятивистских теориях. Поэтому мы их здесь не будем рассматривать.

Такая переформулировка уравнения Липпмана−Швингера ока-

зывается полезной в другом отношении. Наши рассуждения в этом разделе основывались на теории возмущений. Мне неизвестно ка- кое-либо непертурбативное доказательство основной теоремы этого раздела. Однако было показано 9, что переформулированные непертурбативные динамические уравнения совместимы с требованием, что UC(t,t0) (а следовательно и SC) должны содержать требуемую

252

Глава 4. Принцип кластерного разложения

принципом кластерного разложения единственную дельта-функ- цию закона сохранения импульса, если только гамильтониан удовлетворяет условию, что каждая коэффициентная функция hN,M тоже содержит лишь одну такую дельта-функцию.

Задачи

1. Определим производящие функционалы для S-матрицы и ее связной части:

∞

∞

1

F[v] ≡ 1 +

å å

1

N

1

M

N=1 M=1 N! M! z

v* (q′). . .v* (q′

)v(q

). . . v(q

)

× S

...q′ ,q

...q

dq′ . . . dq′

dq

1

. . . dq

M

,

q′

M

1

N

1

N

1

∞

∞

1

C

*

′

*

′

F

[v] ≡ 1 + å å N ! M ! z v

(q1). . .v

(qN )v(q1). . . v(qM )

N=1M=1

C

...q′

,q

...q

′

′

× Sq

′

dq1

. . . dqNdq1 . . . dqM .

1

N

1

M

Выведите формулу, связывающую F[v] и FC[v]. (Можно рассмотреть чисто бозонный случай.)

2. Рассмотрим взаимодействие

V = gz d3p1d3p2d3p3d3p4δ3 (p1 + p2 − p3 − p4 )

× a†(p1)a†(p2 )a(p3 )a(p4 ),

ãäå g − действительная константа, а a(p) − оператор уничтоже-

ния бесспинового бозона массой M > 0. С помощью теории возмущений найдите матричный элемент S-матрицы для рассеяния этих частиц в с. ц. и. в порядке g2. Чему равно соответствующее дифференциальное сечение?

3. Когерентное состояние Φλ определяется как собственное со-

стояние операторов уничтожения a(q) с собственными значе- ниями λ(q). Постройте такие состояния как суперпозицию многочастичных состояний Φq1q2 ...qN .

Список литературы

253

Список литературы

1. Принцип кластерного разложения в квантовой теории поля, по-видимому, впервые был явно высказан в работе: Wichmann, E.H. and Crichton, J.H., Phys. Rev., 132, 2788 (1963).

2. См., например: Bakamijan, B. and Thomas, L.H., Phys. Rev., 92, 1300 (1953).

3. Ссылки можно найти в работе: Lee, T.D. and Yang, C.N., Phys. Rev., 113, 1165 (1959).

4. Goldstone, G., Proc. Roy. Soc. London, A239, 267 (1957).

5. Hugenholtz, N.M., Physica, 23, 481 (1957).

6. См., например: Kubo, R., J. Math. Phys., 4, 174 (1963).

7. Titchmarsh, E.C., Introduction to the Theory of Fourier Integrals

(Oxford University Press, Oxford, 1937), Section 1.8.

8. Faddeev, L.D., Zh. Eksper. i Teor. Fiz., 39, 1459 (1961); Dokl. Akad. Nauk SSSR, 138, 565 (1961); 145, 30 (1962).

9. Weinberg, S., Phys. Rev., 133, B232 (1964).

5

Квантовые поля и античастицы

Теперь у нас есть все необходимое, чтобы обосновать введение квантовых полей.1 В процессе этого построения мы увидим наиболее примечательные и универсальные следствия союза теории относительности с квантовой механикой: связь спина и статистики, существование античастиц, различные соотношения между частицами и античастицами, включая знаменитую СРТ-теорему.

5.1.Свободные поля

Âгл. 3 было показано, что если взаимодействие можно записать в виде

V(t) = z d3x H (x, t) ,

(5.1.1)

где H — скаляр в том смысле, что

U0 (L, a)H (x)U0−1(L, a) = H (Lx + a),

(5.1.2)

удовлетворяющий дополнительному условию

H x

H x

= 0 äëÿ

(

x

-

x

¢)

2

³ 0,

(5.1.3)

( ),

( ¢)

то S-матрица оказывается лоренц-инвариантной. Мы увидим далее, что существуют и более общие возможности, но все они мало отличаются от этой. (Оставляем пока что открытым вопрос,

5.1. Свободные поля

255

ограничены ли преобразования Λ собственными ортохронными пре-

образованиями Лоренца, или они могут включать пространственные отражения.) Чтобы легче было удовлетворить принципу кластерного разложения, мы собираемся строить H (x) из операторов рождения и уничтожения. Однако здесь мы сталкиваемся с проблемой. Как следует из формулы (4.2.12), в результате преобразований Лоренца каждый такой оператор умножается на матрицу, зависящую от того импульса, который несет этот оператор. Как нужно объединять такие операторы, чтобы получить скаляр? Решение заключается в том, чтобы строить H (x) из полей уничтожения ψl+ (x) и рождения ψl− (x):

ψl+ (x) = åz d3p ul (x; p, σ, n) a(p, σ, n),

(5.1.4)

σn

ψl− (x) = å z d3p vl (x; p, σ, n) a† (p, σ, n),

(5.1.5)

σn

с коэффициентами * ul(x; p,σ,n) è vl(x; p,σ,n), выбранными так,

чтобы под действием лоренцовских преобразований каждое поле умножалось бы на матрицу, не зависящую от координат:

U0

(Λ, a)ψl+ (x)U0−1(Λ, a) = å Dll (Λ−1)ψl+ (Λx + a),

(5.1.6)

l

U0

(Λ, a)ψl− (x)U0−1(Λ, a) = å Dll (Λ−1)ψl− (Λx + a).

(5.1.7)

l

(В принципе, можно было бы написать для полей уничтожения и рождения разные матрицы D±, однако мы увидим, что всегда

можно выбрать поля так, что эти матрицы будут одинаковыми.) Применяя вторично преобразование Лоренца`Λ, получаем

D(Λ−1)D(Λ−1) = D((ΛΛ)−1),

так что, обозначив Λ1 = (Λ)–1 è Λ2 = (`Λ)–1, видим, что D-матрицы

реализуют представление однородной группы Лоренца:

* Напомним, что индексы n и σ нумеруют соответственно типы частиц и z-компоненты их спинов.

256

Глава 5. Квантовые поля и античастицы

D(Λ1)D(Λ2 ) = D(Λ1Λ2 ).

(5.1.8)

Существует много таких представлений, в том числе, скаляр D(Λ) = 1, вектор D(Λ)μν = Λμν и уйма тензорных и спинорных представлений. Все

они неприводимы в том смысле, что с помощью выбора базиса невозможно привести все D(Λ) к одной и той же блочно-диагональной

форме с двумя или более блоками. Однако мы пока что не требуем, чтобы D(Λ) была неприводимой; в общем случае это блочно-диаго-

нальная матрица с произвольным набором неприводимых представлений в каждом блоке. Иными словами, индекс l включает метки, различающие типы описываемых частиц и неприводимые представления в разных блоках, а также индекс, нумерующий компоненты отдельных неприводимых представлений. Ниже мы разделим такие поля на неприводимые, так что каждое поле будет описывать один единственный сорт частиц (и античастиц) и преобразовываться по неприводимому представлению группы Лоренца.

Раз уж мы научились строить поля, удовлетворяющие законам преобразования Лоренца (5.1.6) и (5.1.7), то теперь можно построить и плотность гамильтониана взаимодействия в виде

H (x) =

g ′

′

,l1 ...lM

å å å l1

...lN

NM l′

...l′ l

...l

M

1

N 1

(5.1.9)

× ψl−′ (x). . . ψl−′

(x)ψl+

(x). . . ψl+

(x)

1

N

1

M

причем это выражение будет скаляром в смысле (5.1.2), если посто-

янные коэффициенты

gl′

...l′

,l ...l

выбраны лоренц−ковариантными,

ò. å. äëÿ âñåõ Λ

1

N

1

M

å å

D ′ ′ (Λ−1).

l1l1

′

′

...lM

l1

...lN l1

× gl′

...l′

,l

1

N

1

. .

D

′ ′ (Λ−1)D

(Λ−1). . . D

(Λ−1)

lNlN

l1l1

lMlM

= g

...l .

(5.1.10)

...lM

l′... l′

,l

1 N

1

M

В принципе, задача нахождения коэффициентов gl′

...l′

,l ...l

, óäîâ-

1

N

1

M

летворяющих (5.1.10), ничем не отличается (и ничем не сложнее на

практике) от использования коэффициентов Клебша-Гордана для объединения разных неприводимых представлений трехмерной группы вращений в скаляры по отношению к вращениям. Ниже мы

Смотрите также файлы