Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Здесь сумма берется по всем способам разбиения начальных и конечных частиц и операторов V(t) на ν кластеров (включая сумму по ν от 1 до n). Каждый j-ый кластер включает nj операторов V(tj1), . . . V(tjn ) и некоторые подмножества начальных частиц αj и конечных частиц βj. Конечно, это означает, что

n = n1 + ... + nν,

а также что множество α есть объединение всех частиц в подмножествах α1, α2, ..., αν, и аналогично для конечного состояния. В

некоторых кластерах в (4.4.5) может вообще не быть вершин, т. е. nj = 0. Тогда необходимо, чтобы соответствующий множитель в матричном элементе (4.4.5) обращался в нуль всегда, кроме слу- чая, когда βj è αj являются одночастичными состояниями (и тогда сам множитель есть просто дельта-функция δ(αj − βj)), òàê êàê

единственные связные диаграммы без вершин имеют вид прямых линий, идущих снизу вверх через всю диаграмму. Самое важное: индекс С в (4.4.5) означает, что мы исключаем любые вклады, соответствующие несвязным диаграммам, т. е. такие вклады, в которых какой-то оператор V(t) или любая начальная или конеч- ная частица не связана с каждой другой последовательностью рождений и уничтожений частиц.

Подставим теперь (4.4.5) в сумму (4.4.3). Интеграл по каждой временной переменной берется в пределах от −∞ äî ∞, òàê ÷òî íå

имеет значения, как переменные t1, t2, ..., tn рассортированы по кластерам. Сумма по разбиениям на кластеры дает множитель n!/n1!n2!...nν!, равный числу способов разбиения n вершин на ν

кластеров, в каждом из которых содержится n1, n2, ... вершин:

∞

z dt1. . . dtn dΦβ ,TlV(t1), . . . V(tn )qΦα i

× eΦβj ,TnV(tj1), . . . V(tjn )sΦαj jC .

248 Глава 4. Принцип кластерного разложения

Первая сумма здесь берется по всем способам разбиения частиц в начальном и конечном состояниях на кластеры α1 ... αν è β1... βν (включая сумму по числу кластеров ν). Множитель n! сокращается с множителем 1/n! в (4.4.3), а множитель (−i)n в ряде теории возмущений (4.4.5) можно записать как произведение (−i)n1 . . . (−i)nν ,

так что вместо суммирования по n и последующего отдельного суммирования по n1, ..., nν, ограниченного условием n1 + ... + nν = n, можно просто независимо суммировать по n1, ..., nν. Оконча-

тельно

Сравнивая это выражение с определением (4.3.2) связных матрич- ных элементов, мы видим, что эти матричные элементы равны как раз множителям под знаком произведения:

(Индекс j опущен у всех t и n, так как теперь это просто переменные интегрирования и суммирования.) Итак, SβαC вычисляется по

очень простому рецепту: эта величина есть сумма всех связных вкладов в S−матрицу, т. е. отбрасываются все слагаемые, в ко-

кторых любая начальная или конечная частица или любой оператор V(t) не связаны со всеми другими некоторой последовательностью рождений и уничтожений частиц. Этим объясняется прилагательное «связная» для матрицы SC.

Как мы видели, в каждой вершине и вдоль каждой линии импульс сохраняется, поэтому он сохраняется по-отдельности и в связных частях S−матрицы, т. е. SβαC содержит множитель δ3(pβ − pα). Мы хотим доказать, что SβαC не содержит других дельта-функций.

Предположим, что коэффициентные функции hNM в разложении (4.4.1) функции Гамильтона по операторам рождения и уничтожения пропорциональны единственной трехмерной дельта-функ- ции, обеспечивающей сохранение импульса. Это автоматически выполняется для свободной функции Гамильтона Н0, и поэтому

в силу высказанного предположения верно и для оператора взаимодействия V. Возвращаясь к использованной выше графической интерпретации матричных элементов, это означает, что каждая вершина вносит одну трехмерную дельта-функцию. (Другие дель- та-функции в матричных элементах Vγδ просто сохраняют неизмен-

ным импульс любой частицы, не рождающейся и не уничтожающейся в соответствюущей вершине.) Далее, наличие большей части этих дельта-функций сводится к фиксации импульсов промежуточ- ных частиц. Единственные импульсы, остающиеся незафиксированными этими дельта-функциями, — это импульсы в петлях из внутренних линий. (Всякая линия, разрезание которой оставляет диаграмму несвязной, несет импульс, который фиксирован законом сохранения как некоторая линейная комбинация импульсов линий, входящих или выходящих из диаграммы. Если у диаграммы L линий, которые можно одновременно разрезать, и при этом сама диаграмма не становится несвязной, то говорят, что в диаграмме содержится L независимых петель и, соответственно, имеется L импульсов, не зафиксированных законом сохранения.) В диаграмме с V вершинами, I внутренними линиями и L петлями имеется V дельта-функций, из которых I − L требуются для фиксации внутренних импульсов, а остающиеся V − I + L дельта-функций связы-

вают импульсы входящих и выходящих частиц. Однако хорошо известное топологическое тождество * утверждает, что для любой диаграммы, состоящей из С связных кусков, число вершин, внутренних линий и петель связано соотношением

Отсюда в связном матричном элементе типа SβαC , возникающим от

диаграмм с С = 1, содержится только одна трехмерная дельтафункция δ3(pβ − pα), что и требовалось доказать.

* У диаграммы, состоящей из одной вершины, V = 1, L = 0 и С = 1. Если добавить V - 1 вершину с ровно таким количеством внутренних линий, чтобы диаграмма осталась связной, то I = V - 1, L = 0 и С = 1. Все добавочные

внутренние линии, проведенные (без появления новых вершин) в той же связной диаграмме, дают равное количество петель, так что I = V + L - 1 è Ñ = 1.

Если несвязная диаграмма состоит из С таких связных частей, то суммы I, V и L от каждой связной части будут удовлетворять равенству åI = åV + åL - C.

В приведенном рассуждении было несущественно, что производится интегрирование по временным переменным от −∞ äî ∞.

Таким образом, можно использовать те же аргументы, чтобы показать, что, если коэффициенты hN,M в гамильтониане содержать ровно одну дельта-функцию, то U(t,t0) также можно разложить на связные части, в каждой из которых будет содержаться одна дельта-функция, выражающая закон сохранения импульса.

С другой стороны, связная часть S−матрицы содержит также

дельта-функцию, отвечающую сохранению энергии. Когда в гл. 6 мы подойдем к диаграммам Фейнмана, будет видно, что SÑβα

содержит лишь одну дельта-функцию закона сохранения энергии δ(Eβ − Eα), в то время, как U(t,t0) вообще не содержит дельта-

функций, отражающих закон сохранения энергии.

Следует подчеркнуть, что требование, чтобы hNM в (4.4.1) содержало лишь одну дельта-функцию, отражающую закон сохранения трехмерного импульса, весьма нетривиально и приводит к далеко идущим выводам.

Например, предположим, что V имеет неисчезающие матрич- ные элементы между двухчастичными состояниями. Тогда в формуле (4.4.1) должно содержаться слагаемое с N = M = 2 и коэффициентом

(Мы временно опустили индексы спинов и сортов частиц). Но тогда матричный элемент взаимодействия между трехчастичными состояниями равен

В начале главы отмечалось, что можно попытаться построить релятивистскую квантовую теорию, не являющуюся теорией поля, выбрав v2,2 так, чтобы двухчастичная S−матрица была

лоренц-инвариантной, и подобрав оставшийся гамильтониан так, чтобы в состояниях с тремя или более частицами не было рассеяния. Поэтому следует выбрать v3,3 так, чтобы сократить другие слагаемые в (4.4.9):