Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

определенного спина j, то это представление D(R) должно содержать среди своих неприводимых компонент отвечающее спину j представление D(j)(R), причем коэффициенты ul(0,σ,n) è vl(0,σ,n)

описывают то, каким образом представление группы вращений со спином j погружено в D(R).

В разделе 5.5 мы увидим, что каждое неприводимое представление собственной ортохронной группы Лоренца содержит любое заданное неприводимое представление группы вращений не более одного раза, так что если поля ψl+ (x) è ψl− (x) преобразуются по

неприводимому представлению, то они единственны с точностью до общего масштабного множителя. В более общей форме утверждается, что число свободных параметров в полях уничтожения или рождения (включая их общие масштабные множители) равно числу неприводимых представлений, входящих в поле.

Непосредственной проверкой можно убедиться, что коэффициентные функции ul(p,σ,n) è vl(p,σ,n), определяемые формулами (5.1.21) и (5.1.22), причем ul(0,σ,n) è vl(0,σ,n) удовлетворяют соотно-

шениям (5.1.23) и (5.1.24), автоматически удовлетворяют и более общим требованиям (5.1.19) и (5.1.20). Мы оставляем проверку этого утверждения читателю.

Вернемся к принципу кластерного разложения. Подставляя (5.1.17) и (5.1.18) в (5.1.9) и интегрируя по x, находим, что гамильтониан взаимодействия равен

ãäå

(çíàê å соответствует выбору коммутатора или антикоммутатора, если частицы, уничтожаемые или рождаемые компонентами ψl+ è ψl− , являются бозонами или фермионами, соответственно), и в

общем случае это выражение не обращается в нуль даже для пространственноподобных x − y. Очевидно, эту проблему не удает-

ся разрешить, если построить плотность гамильтониана взаимодействия только из полей рождения или уничтожения по отдельности, так как в этом случае взаимодействие не будет эрмитовым. Единственный путь преодоления трудности — в том, чтобы образовать линейные комбинации полей рождения и уничтожения

подобрав константы κ è λ и любые другие произвольные константы в полях так, чтобы при пространственноподобных интервалах x − y

Ниже в этой главе мы покажем, как это можно сделать для разных полей, преобразующихся по неприводимым представлениям. (Вклю- чив в явном виде константы κ è λ в (5.1.31), мы сохраняем свободу

выбора общего масштабного множителя для полей рождения и уничтожения в любой удобной нам форме.) Плотность гамильтониана H (x) будет удовлетворять перестановочным соотношениям (5.1.3), если она будет построена из таких полей и им сопряженных, причем будет входить четное число любых компонент полей, унич- тожающих и рождающих фермионы.

Условие (5.1.32) часто называют условием причинности, т. к. если x − y является пространственноподобным интервалом, ни один сигнал из x не может попасть в y, и измерение ψl в точке x не может интерферировать с измерениями ψl′ èëè ψ†l′ в точке y.

Подобные соображения приемлемы для электромагнитного поля, поскольку, как показано в классической работе Бора и Розенфельда2, в данной пространственно-временной точке может быть измерена любая его компонента. Однако нам предстоит иметь дело с полями типа дираковского поля электрона, которые не кажутся

измеримыми ни в каком смысле. Точка зрения, принимаемая в этой книге, заключается в том, что соотношение (5.1.32) необходимо для лоренц-инвариантности S-матрицы без дополнительных предположений об измеримости или причинности.

Есть еще одно обстоятельство, связанное с построением полей (5.1.31), удовлетворяющих условию (5.1.32). Может оказаться так, что частицы, уничтожаемые и рождаемые полями, обладают ненулевыми значениями одного или болеее сохраняющихся квантовых чисел типа электрического заряда. Например, если частицы типа n обладают значением q(n) электрического заряда Q, то

[Q, a(p, σ, n)] = −q(n)a(p, σ, n),

[Q, a† (p, σ, n)] = +q(n)a† (p, σ, n).

Для того, чтобы H (x) коммутировал с оператором заряда Q (или другими генераторами симметрии), необходимо, чтобы он был построен из полей, имеющих простые коммутационные соотношения с оператором Q:

Тогда можно построить H (x), который будет коммутировать с Q,

взяв его как сумму произведений полей ψl1 ψl2 . . . и сопряженных

полей ψ† ψ† . . . , причем

m1 m2

ql1 + ql2 +. . .− qm1 − qm2 −. . . = 0 .

Однако соотношение (5.1.33) выполняется для некоторой конкретной компоненты ψl+ поля уничтожения, если и только если все

типы частиц n, уничтожаемые этим полем, несут один и тот же заряд q(n) = ql; аналогично, оно удовлетворяется для конкретной компоненты ψl− поля рождения, если и только если все сорта частиц n , рождаемые этим полем, несут заряд q(n) = −ql . Ìû

видим, что для того, чтобы такая теория сохраняла квантовые числа типа электрического заряда, необходимо удвоение числа сортов частиц с ненулевыми значениями этих квантовых чисел: если конкретная компонента поля уничтожения уничтожает частицу типа n, то та же компонента поля рождения должна рождать

частицы сорта n , которые называются античастицами к частицам

типа n и обладают противоположными значениями всех сохраняющихся квантовых чисел. В этом заключается обоснование существования античастиц.

Если представление D(Λ) приводимо, можно использовать базис для полей, в котором D(Λ) разбивается на блоки вдоль

главной диагонали, причем поля, принадлежащие разным блокам, не переходят друг в друга при преобразованиях Лоренца. К тому же преобразования Лоренца не влияют на тип частиц. Поэтому вместо рассмотрения одного большого поля, содержащего много неприводимых компонент и много типов частиц, можно с этого момента ограничиться рассмотрением полей, которые уничтожают только один определенный тип частиц (при этом индекс n будем опускать) и рождают только соответствующие античастицы. Такие поля преобразуются по неприводимому представлению группы Лоренца (как отмечалось выше, это представление может как включать, так и не включать пространственное отражение). Следует понимать, что в общем случае нужно рассматривать много разных полей такого типа, причем некоторые из них могут быть образованы из производных других полей. В последующих разделах мы собираемся завершить определение коэффициентов ul(p,σ) è vl(p,σ), зафиксировать относительные значения констант κ è λ и вывести соотноше-

ния, связывающие свойства частиц и античастиц, проделав это последовательно для полей, принадлежащих простейшим неприводимым представлениям группы Лоренца — скалярному, векторному и дираковскому спинорному. После этого мы повторим анализ для совершенно произвольного неприводимого представления.

Сделаем замечание по поводу уравнений поля. Как следует из формул (5.1.31), (5.1.17) и (5.1.18), все компоненты поля данной массы m удовлетворяют уравнению Клейна–Гордона:

Некоторые поля удовлетворяют одновременно и другим уравнениям поля, в зависимости от того, превышает или нет число компонент поля число независимых состояний частицы. Традиционно в квантовой теории поля сначала рассматривают полевые уравнения или тот лагранжиан, из которого они могут быть получены, а затем выводят разложение полей по одночастичным операторам уничтожения