ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 7060
Скачиваний: 12
258 Глава 5. Квантовые поля и античастицы
å Dll (L−1)ul (Lx + b; pΛ , s, n)
l
= |
p0 |
(Lp)0 |
å Dσ(jσn ) eW−1(L, p)j expb+i(Lp) × bgul (x; p, s, n) , |
||||||||||||
σ |
|||||||||||||||
å Dll (L−1)vl (Lx + b; pΛ , s, n) |
|||||||||||||||
l |
|||||||||||||||
= |
p0 |
(Lp)0 |
å Dσ(jσn )* eW−1(L, p)j expb-i(Lp) × bgvl (x; p, s, n) , |
||||||||||||
σ |
|||||||||||||||
или в несколько более удобной форме |
|||||||||||||||
å ul (Lx + b; pΛ , s)Dσ(jσn ) aW(L, p)f |
|||||||||||||||
σ |
|||||||||||||||
å Dll aLf expai(Lp) × bful (x; p, s, n) , |
(5.1.13) |
||||||||||||||
= |
p |
0 |
(Lp) |
0 |
|||||||||||
l |
|||||||||||||||
åvl (Lx + b; pΛ , s)Dσ(jσn )* aW(L, p)f |
|||||||||||||||
σ |
|||||||||||||||
å Dll aLf expa-i(Lp) × bfvl (x; p, s, n) . |
(5.1.14) |
||||||||||||||
= |
p |
0 |
(Lp) |
0 |
|||||||||||
l
Эти фундаментальные требования позволяют определить коэффициентные функции ul è vl через конечное число свободных параметров.
Мы используем формулы (5.1.13) и (5.1.14) в три этапа, рассматривая по очереди три разных типа собственных ортохронных преобразований Лоренца.
Трансляции
Сначала рассмотрим формулы (5.1.13) и (5.1.14) при L = 1 и произвольном b. Сразу получаем, что ul(x;p,s,n) è vl(x;p,s,n) имеют
следующий вид:
5.1. Свободные поля |
259 |
u |
l |
(x; p, σ, n) = (2π)-3/2 eip×x u |
(p, σ, n), |
(5.1.15) |
||
l |
||||||
v |
(x; p, σ, n) = |
(2π)-3/2 e-ip×xv |
(p, σ, n), |
(5.1.16) |
||
l |
l |
|||||
так что поля являются преобразованиями Фурье: |
||||||
ψl+ (x) = å(2π)-3/2 z d3p ul (p, σ, n) eip×xa(p, σ, n), |
(5.1.17) |
|||||
s,n |
||||||
ψl- (x) = å(2π)-3/2 z d3p vl (p, σ, n) e-ip×xa† (p, σ, n). |
(5.1.18) |
|||||
s,n |
||||||
(Множители (2π)–3/2 можно было бы включить в определение ul è vl,
но принято выписывать их явно перед интегралами.) С учетом (5.1.15) и (5.1.16) получаем, что условия (5.1.13) и (5.1.14) удовлетворяются, если и только если для произвольного преобразования Лоренца Λ
å ul (pL , σ, n)Ds(jsn ) aW(Λ, p)f = |
å Dll aΛful (p, σ, n) , (5.1.19) |
|
p0 (Λp)0 |
||
s |
l |
åvl (pL , σ, n)Ds(jsn )* aW(Λ, p)f = p0 (Λp)0 å Dll aΛfvl (p, σ, n) . (5.1.20)
s |
l |
Бусты
Положим теперь p = 0 в (5.1.19) и (5.1.20). Пусть Λ — стандарт-
ный буст L(q), переводящий частицу массой m из состояния покоя в состояние с некоторым 4-импульсом qμ. Тогда L(p) = 1 и
W(Λ, p) ≡ L-1(Λp)ΛL(p) = L-1(q)L(q) = 1 .
Отсюда в этом частном случае из формул (5.1.19) и (5.1.20) получаем
ul (q, σ, n) = (m / q0 )1/2 å Dll (L(q))ul (0, σ, n), |
(5.1.21) |
l |
260 Глава 5. Квантовые поля и античастицы
vl (q, σ, n) = (m / q0 )1/2 å Dll (L(q))vl (0, σ, n). |
(5.1.22) |
l |
Иными словами, если нам известны величины ul(0,σ,n) è vl(0,σ,n) для нулевого импульса, то для заданного представления D(Λ) однородной группы Лоренца мы знаем и функции ul(p,σ,n) è vl(p,σ,n) для всех p. (Явные выражения матриц Dll (L(q)) для произвольных
представлений однородной группы Лоренца будут выписаны в разделе 5.7.)
Вращения
Далее, положим p = 0, но будем теперь считать, что Λ — преобразование Лоренца с pΛ = 0. Иными словами, будем рассматривать Λ как чистое вращение R. Очевидно, что W(Λ,p) = R, òàê ÷òî
формулы (5.1.19) и (5.1.20) принимают вид
å ul (0, σ, n)Dσ(jσn ) (R) = å Dll (R)ul (0, σ, n) , |
(5.1.23) |
|
σ |
l |
|
åvl (0, σ, n)Dσ(jσn )* (R) = å Dll (R)vl (0, σ, n), |
(5.1.24) |
|
σ |
l |
|
или эквивалентно |
||
å ul (0, σ, n)J(σjσn ) = å Jll ul (0, σ, n) , |
(5.1.25) |
|
σ |
l |
|
åvl (0, σ, n)J(σjσn )* = −å Jllvl (0, σ, n) , |
(5.1.26) |
|
σ |
l |
|
ãäå J(j) и J — матрицы углового момента в представлениях D(j)(R) и D(R), соответственно. Если Λ ограничены вращениями R, то любое представление D(Λ) однородной группы Лоренца очевидно стано-
вится и представлением группы вращений. Тогда из формул (5.1.25) и (5.1.26) следует, что если поле ψl± (x) должно описывать частицы