ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 7040
Скачиваний: 12
5.5. Причинные дираковские поля |
299 |
Вернемся теперь к требованию, что в результате пространственной инверсии поле ψ(x) должно переходить в нечто, пропорциональное ψ(Px). Чтобы это было возможным, фазы в формулах (5.5.15) и (5.5.16)
должны быть равны друг другу, откуда внутренние четности частиц и их античастиц должны быть связаны соотношением:
ηc = – η*. |
(5.5.40) |
Иными словами, внутренняя четность ηηc системы, состоящей
из частицы со спином 1/2 и ее античастицы, равна –1. Именно по этой причине мезоны с отрицательной внутренней четностью, такие как ρ0 è J/ψ, можно интерпретировать как s-волновые связан-
ные состояния кварк-антикварковых пар. Из формул (5.5.15) и (5.5.16) находим закон преобразования дираковского поля в результате пространственной инверсии:
Pψ(x)P−1 = η*βψ(Px) . |
(5.5.41) |
Прежде чем переходить к другим инверсиям, уместно заметить, что формулы (5.5.14), (5.5.33) и (5.5.26) показывают, что u(p,s) и v(p,s) являются собственными векторами оператора −ipμ γ μ / m ñ
собственными значениями +1 и –1, соответственно:
(ipμ γ μ + m)u(p, σ) = 0, (−ipμ γ μ + m)v(p, σ) = 0. |
(5.5.42) |
Отсюда вытекает, что поле (5.5.33) удовлетворяет дифференциальному уравнению
(γ μ∂μ + m)ψ(x) = 0. |
(5.5.43) |
Это знаменитое уравнение Дирака для свободной частицы со спином 1/2. С принятой здесь точки зрения, уравнение Дирака для свободной частицы есть не что иное, как лоренц–инвариантная запись использованного нами условия, чтобы объединение двух неприводимых представлений собственной ортохронной группы Лоренца давало поле, простым образом преобразующееся при пространственной инверсии.
Чтобы установить свойства дираковского поля по отношению к преобразованиям зарядового сопряжения и обращения времени,
300 |
Глава 5. Квантовые поля и античастицы |
нам нужны выражения для комплексно сопряженных коэффициентных функций u и v. При нулевом импульсе эти функции действительны, но чтобы получить коэффициентные функции при конечном импульсе, мы должны умножить их на комплексную матрицу D(L(p)). Из формулы (5.4.41) следует, что для произвольных действительных ωμν
[exp(21 iJ μνωμν )]* = βC exp(21 iJ μνωμν)C −1β,
так что, в частности,
D(L(p))* = βCD(L(p))C −1β.
Заметим также, что C–1βu(0,σ) = –v(0,σ) è C–1βv(0,σ) = –u(0,σ), òàê
÷òî
ul* (p, σ) = −βCvl (p, σ), |
(5.5.44) |
vl* (p, σ) = −βCul (p, σ). |
(5.5.45) |
Для того, чтобы поле, получающееся при зарядовом сопряжении, коммутировало бы с исходным полем на пространственноподобных расстояниях, нужно, чтобы зарядовые четности частицы и анти- частицы были бы связаны соотношением
ξc = ξ* . |
(5.5.46) |
В этом случае поле преобразуется по правилу
Cψ(x)C−1 = −ξ*βC ψ* (x). |
(5.5.47) |
(Мы обозначаем эрмитово сопряженное поле в правой части ψ*, à íå ψ†, с тем чтобы подчеркнуть, что это все еще вектор-столбец, а
не строка.)
Мы все время различали частицы и их античастицы, но не исключена возможность, что они на самом деле тождественны. Подобные частицы со спином 1/2 называются майорановскими фермионами. Рассуждая по той же схеме, которая привела
5.5. Причинные дираковские поля |
301 |
к (5.5.47), получаем, что дираковское поле такой частицы должно удовлетворять условию действительности:
ψ(x) = −βC ψ* (x). |
(5.5.48) |
Внутренняя пространственная четность майорановских фермионов должна быть мнимой, η = ±i, а четность относительно зарядового сопряжения — действительной, ξ = ±1.
Существует важное различие между фермионами и бозонами, касающееся внутренней фазы, возникающей при зарядовом сопряжении состояний системы, состоящей из частицы и ее античастицы. Такое состояние имеет вид
Φ≡ å z d3pz d3p′χ(p, σ; p′, σ′)a† (p, σ)ac† (p′, σ′)Φ0 ,
σ,σ′
ãäå Φ0 — вакуумное состояние. При зарядовом сопряжении такое
состояние преобразуется в
CΦ ≡ ξ*ξc* å z d3pz d3p′χ(p, σ; p′, σ′)ac† (p, σ)a† (p′, σ′)Φ0 .
σ,σ′
Меняя местами переменные интегрирования и суммирования и используя соотношения антикоммутации операторов рождения и формулу (5.5.46), можно переписать последнее выражение как
CΦ ≡ − å z d3pz d3p′χ(p′, σ′; p, σ)a† (p, σ)ac† (p′, σ′)Φ0 .
σ,σ′
Отсюда находим, что внутренняя зарядовая четность системы, состоящей из частицы, описываемой дираковским полем, и ее античастицы, равна –1. Это означает следующее: если волновая функция χ состояния четна или нечетна по отношению к перестанов-
ке импульсов и спинов частицы и античастицы, то оператор зарядового сопряжения при действии на такое состояние дает соответственно –1 или +1. Классическим примером использования этих правил является позитроний, связанное состояние электрона и позитрона. Два низших энергетических состояния являются почти вырожденными s-волновыми состояниями с полным спином s = 0 и s = 1.