Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Их называют соответственно пара- и ортопозитронием. Волновая функция обоих состояний четна по отношению к перестановке импульсов, и нечетна или четна при перестановке z-компонент спина, так что парапозитронийÑ и ортопозитроний имеют зарядовую четность C = +1 и = –1, соответственно. Такие значения решающим

образом влияют на возможные моды распада позитрония: парапозитроний быстро распадается на пару фотонов (у каждого из которых C = –1), а ортопозитроний может только значительно медленнее

распадаться на три или более фотонов. Точно так же, одиночные мезоны ρ0 è ω0 рождаются как резонансы при аннигиляции электрон-

позитронных пар больших энергий через однофотонное промежуточÑ - ное состояние, так что у этих мезонов должно быть = –1. Это совместимо с интерпретацией таких мезонов как кварк-антикварко- вых связанных состояний с нулевым орбитальным моментом и суммарным спином кварков, равным единице.

Перейдем, наконец, к обращению времени. Напомним свойства преобразований операторов уничтожения частиц и рождения античастиц (формула (4.2.15)):

Тогда при обращении времени поле (5.5.34) преобразуется как

Tψl (x)T-1 = (2π)-3/2 ås z d3p(−1)1/2-s

× [ζ* ul* (p, σ)e-ip×xa(−p,−σ) + ζcvl* (p, σ)eip×xac† (−p,−σ)].

Чтобы записать это выражение в такой же форме как ψ, следует заменить переменные интегрирования и суммирования на –р и –σ,

так что нам нужны формулы, связывающие ul*(–p,–s) è vl*(–p,–s) ñ ul(p,s) è vl(p,s), соответственно. Для этого можно использовать то, что J i0 антикоммутирует с β и коммутирует с γ5. С учетом предыду-

щего выражения для D(L(p))* можно записать:

D* (L(−p)) = γ 5βD* (L(p))βγ 5 = γ 5CD(L(p))C −1γ 5 .

Далее, из формул (5.4.36) и (5.5.35)–(5.5.36) следует

γ5C −1u(0,−σ) = (−1)1/2−σ u(0, σ),

γ5C −1v(0,−σ) = (−1)1/2−σ v(0, σ),

òàê ÷òî

Итак, чтобы операция обращения времени перевела дираковское поле в нечто, пропорциональное самому себе в обращенной по времени точке (причем чтобы эти поля антикоммутировали на пространственноподобных расстояниях), необходимо, чтобы внутренние фазовые множители, возникающие при обращении времени, были связаны соотношением

В этом случае

Рассмотрим вопрос о том, как построить скалярные плотности гамильтониана взаимодействия из дираковских полей и сопряженных им полей. Как отмечалось, дираковское представление не унитарно, так что ψ†ψ не является скаляром. Чтобы обойти эту

трудность, удобно определить новый тип сопряженной величины:

Используя условие псевдоунитарности (5.4.32), видим, что фермионные билинейные комбинации, построенные с помощью ψ , ïîä

действием преобразований Лоренца изменяются по закону

U0 (Λ)[ψ(x)Mψ(x)]U0−1(Λ) = ψ(Λx)D−1(Λ)MD(Λ)ψ(Λx). (5.5.56)

304 Глава 5. Квантовые поля и античастицы

Кроме того, при пространственной инверсии

комбинации ψMψ , преобразующиеся как скаляр, вектор, тензор,

аксиальный вектор и псевдоскаляр, соответственно. (Слово «аксиальный» и приставка «псевдо» означают, что эти комбинации преобразуются по отношению к пространственным отражениям противоположно тому, как преобразуются векторы и скаляры: четность псевдоскаляра отрицательна, а пространственные и временная компоненты аксиального вектора имеют, соответственно, положительную и отрицательную четности.) Эти результаты сохраняются, если два фермионных поля в билинейной комбинации принадлежат частицам разных сортов, не считая того, что в этом случае возникает отношение внутренних четностей.

Например, в первоначальной теории β-распада Ферми рас-

сматривалась плотность гамильтониана взаимодействия, пропорциональная ψpγ μ ψ nψeγ μ ψ ν . Позднее стало понятно, что наиболее

общее лоренц-инвариантное, сохраняющее четность и не содержащее производных взаимодействие в β-распаде имеет вид линейной комбинации произведений указанного вида, в которых γμ заменено на любой из пяти ковариантов, образованных с помощью 4 × 4 матриц 1, γμ, J μν, γ5γμ, èëè γ5. (Как обсуждалось в гл. 2, оператор

пространственной инверсии определен так, что внутренняя четность протона, нейтрона и электрона равна +1. Если нейтрино не имеет массы, то его четность также можно принять равным +1, заменив при необходимости поле нейтрино на γ5ψν.) Когда в

1956 году Ли и Янг усомнились в справедливости закона сохранения четности, они расширили список возможных взаимодействий без производных, включив в него десять слагаемых, пропорциональ-

íûõ ψ pMψ nψ eMψ ν , а также ψ pMψ nψ eMγ 5ψ ν , где М — одна из матриц 1, γμ, J μν, γ5γμ, γ5. Определенный интерес представляют

свойства этих билинейных комбинаций по отношению к зарядовому сопряжению. Используя формулы (5.5.47) и (5.5.35)–(5.5.39), имеем:

C(ψMψ)C−1 = (βCψ)TβM(βCψ* ) = −(βCψ* )T MTCψ

= ψC −1MTCψ = ±ψMψ, (5.5.58)

где i, j, k принимают значения 1,2,3, а εijk − полностью антисимметричная величина с ε123 ≡ +1. Формула (5.6.4) указывает на то, что

матрицы J являются генераторами представления подгруппы вращений группы Лоренца, а формула (5.6.5) отражает тот факт, что K есть 3-вектор. Знак «минус» в правой части формулы (5.6.6) возникает из-за того, что η00 = −1. Этот знак играет в дальнейшем

решающую роль.

Очень удобно заменить матрицы J и K двумя независимыми

Легко видеть, что коммутационные соотношения (5.6.4)−(5.6.6) ýêâè-

валентны равенствам

Матрицы, удовлетворяющие соотношениям (5.6.9)−(5.6.11), можно

найти так же, как это было сделано для матриц, представляющих спины пары невзаимодействующих частиц, т. е. в виде прямой суммы. Иначе говоря, отметим строки и столбцы этих матриц парой целых и/или полуцелых чисел a, b, пробегающих ряд значений