ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 7071
Скачиваний: 12
312 |
Глава 5. Квантовые поля и античастицы |
CAB(jσ;ab) c точностью до возможного коэффициента пропорцио-
нальности. Принято выбирать эту константу так, что
u |
ab |
(0, σ) = (2m)−1/2 C |
AB |
(jσ; ab) . |
(5.7.4) |
Этот результат единственен, поскольку каждое неприводимое представление (А,В) однородной группы Лоренца содержит данное представление группы вращений со спином j не более одного раза. Аналогично, изучение формул (5.6.16)−(5.6.17) показывает, что ком-
плексно сопряженные матрицы углового момента равны
−J(σσj)*′ = (−1)σ −σ′ J(−jσ) ,−σ′ . |
(5.7.5) |
Таким образом, если записать формулу (5.7.3) через (−1)j−σvab(0,−σ),
она примет тот же вид, что и формула (5.7.2). После подбора постоянного множителя единственное решение для v(0,σ) принима-
åò âèä
v |
ab |
(0, |
σ) = (−1)j + σ u |
ab |
(0,−σ). |
(5.7.6) |
Чтобы вычислить коэффициентные функции при конечном импульсе, следует совершить преобразование буста. Для заданного
$ |
≡ |
||||||||||||||||||||
направления p |
p/| p| |
буст (2.5.24) можно представить как функцию |
|||||||||||||||||||
параметра θ, определенного равенствами |
|||||||||||||||||||||
θ = |
m |
θ = |
m |
(5.7.7) |
|||||||||||||||||
ch |
p |
2 |
+ m2 |
/ |
, |
sh |
| p|/ |
||||||||||||||
и писать Lμν(θ) вместо Lμν(p): |
|||||||||||||||||||||
i |
θ |
= δ |
ik |
+ |
(ch |
θ − |
$ $ |
||||||||||||||
L k ( |
) |
1)pipk , |
|||||||||||||||||||
i |
θ |
= |
0 |
θ |
= $ |
θ |
(5.7.8) |
||||||||||||||
L |
0 ( ) |
L i |
( ) |
pi sh , |
|||||||||||||||||
L00 |
= ch θ. |
||||||||||||||||||||
Преимущество такой параметризации заключается в том, что
L( |
θ |
)L(θ) = L( |
θ |
+ θ) . |
(5.7.9) |
5.7. Причинные поля. Общий случай |
313 |
|||||||
μ |
μ |
μ |
i |
0 |
$ |
|||
В случае бесконечно малых q [L(q)] ν ® d |
ν + w |
ν, ãäå w 0 |
= w i = pi q |
|||||
è wij = w00 = 0. Следуя тем же рассуждениям, которые привели от |
||||||||
формулы (2.2.24) к формуле (2.2.26), получим: |
||||||||
D(L(p)) = exp(-i |
$ |
× |
K |
q). |
(5.7.10) |
|||
p |
||||||||
Это верно для любого представления однородной группы Лоренца. Для неприводимых представлений (А,В) из формул (5.6.7) и (5.6.8) следует, что
iK = A − B, |
(5.7.11) |
à òàê êàê À è Â -коммутирующие матрицы, то
$ |
À |
$ |
B |
q). |
|
D(L(p)) = exp(-p × |
q) exp(+p × |
(5.7.12) |
Подробнее, используя (5.6.14) и (5.6.15), имеем:
$ |
(A) |
q)h |
$ |
(B) |
q)h |
. |
(5.7.13) |
|
D(L(p))a′b′,ab = cexp(-p × J |
a′a |
cexp(+p × J |
||||||
b′b |
Тогда из формул (5.7.4) и (5.7.6) следует, что коэффициентные функции при конечном импульсе равны
1 |
$ |
(A) |
$ |
(B) |
||||||
uab (p, s) = |
åcexp(-p × J |
q)ha′a cexp(+p × J |
q)hb′bCAB |
(js; a¢b¢) , |
||||||
2p |
0 |
|||||||||
a′b′ |
(5.7.14) |
|||||||||
vab (p, s) = (-1)j + σ uab (p,-s). |
(5.7.15) |
|||||||||
Эти формулы дают явные выражения для поля при заданном типе преобразования (А,В), так что поле (5.1.31) этого типа единственно с точностью до выбора постоянных множителей k è l.
В рамках такого формализма очень легко построить плотности гамильтониана взаимодействия, являющиеся лоренцовскими скалярами. Представление (А,В) однородной группы лоренца есть прямое произведение представлений (А,0) и (0,В), так что общие формулы преобразований Лоренца (5.1.6) и (5.1.7) принимают вид
U0 (L)yab(x)U0−1(L) = å DaA,0a′ (L−1)Db0,Bb′ (L−1)ya′b′ (Lx). (5.7.16)
a′b′
314 |
Глава 5. Квантовые поля и античастицы |
Далее, из формул (5.6.14) и (5.6.15) следует, что матричные генераторы представлений (А,0) и (0,В) являются просто спиновыми матрицами для спинов А и В, соответственно. Таким образом, можно построить скаляры вида
å å |
(1) |
(2) |
(n) |
(x). |
|
ga1a2 ...an ,b1b2 ...bn ψa1b1 |
(x)ψa2b2 |
(x). . . ψanbn |
(5.7.17) |
a1a2 ...an b1b2 ...bn
âçÿâ ga1a2 ...an ,b1b2 ...bn как произведение коэффициентов объединения
спинов А1, À2,..., Àn в скаляр и спинов В1, Â2, ... , Ân − в другой
скаляр. (Хотя мы и не рассматриваем явно взаимодействия, содержащие производные, подобным способом можно построить наиболее общее взаимодействие n полей, так как производная поля типа (А,В) всегда может быть разложена на поля других типов без производных.) Например, самый общий лоренцовский скаляр, построенный из произведения трех полей, преобразующихся по представлениям (А1,Â1), (À2,Â2) è (À3,Â3), имеет вид
g å å |
F A1 |
A2 |
A3 I F B1 |
B2 |
B3 I |
(1) |
(2) |
(3) |
G |
a2 |
J G |
b2 |
J |
ψa1b1 |
ψa2b2 |
ψa3b3 (5.7.18) |
|
a1a2a3 b1b2b3 |
H a1 |
a3 K H b1 |
b3 K |
|||||
и содержит единственный свободный параметр g. Это самое общее трехполевое взаимодействие. (Скобки в (5.7.18) обозначают 3j−ñèì-
волы Вигнера 10:
F |
j1 |
j2 |
j3 I |
′ |
, m1m2 )Cj3j3 |
′ |
G |
J |
|||||
m2 |
≡ åCj1j2 (j3m3 |
(00, m3m3 ), |
||||
H m1 |
m3 K |
m′ |
||||
3 |
||||||
которые определяют связь трех спинов, образующую скаляр по отношению к вращениям.)
Для того, чтобы S-матрица была лоренц−инвариантной, недоста-
точно, чтобы плотность гамильтониана взаимодействия H(x) была скаляром типа (5.7.18). Другим необходимым условием является то, что H(x) должна коммутировать с H(y) на пространственноподобных расстояниях x − y. Чтобы увидеть, как можно удовлетво-
рить такому условию, рассмотрим коммутатор или антикоммутатор двух полей частиц одного сорта: поле ψ типа (А,В) и сопряженное поле ψ~ † ê ïîëþ ψ~ òèïà (A~, B~) . Находим: