7.1. Канонические переменные |
|
|
|
|
|
389 |
ϕ |
t ϕ& |
t |
= iδ3 |
(x |
− |
y) , |
(7.1.4) |
[ (x, ), (y, )]− |
|
|
|
|
[ϕ(x, t), ϕ(y, t)]− = 0 , |
|
(7.1.5) |
|
[ϕ& (x, t), ϕ& (y, t)]− = 0 . |
|
(7.1.6) |
Поэтому можно определить канонические переменные |
|
q(x, t) ≡ ϕ(x, t) , |
p(x, t) ≡ ϕ& (x, t) , |
(7.1.7) |
удовлетворяющие каноническим коммутационным соотношениям (7.1.1)−(7.1.3).
В случае комплексного скалярного поля частицы спина нуль, не совпадающей со своей античастицей, коммутационные соотношения имеют вид
[ϕ(x), ϕ† (y)]− = (x − y) , [ϕ(x), ϕ(y)]− = 0 .
Отсюда можно определить канонические переменные для свобод-
ных частиц как комплексные операторы |
|
q(x, t) ≡ ϕ(x, t) , |
(7.1.8) |
x |
≡ ϕ& † |
x |
(7.1.9) |
p( , t) |
|
( |
, t) . |
|
Эквивалентно, записав ϕ ≡ (ϕ1 + iϕ2)/ |
|
с эрмитовыми ϕk, |
k = 1,2, |
2 |
получаем канонические переменные |
|
|
|
|
qk (x, t) = ϕk (x, t) , |
(7.1.10) |
pk (x, t) ≡ ϕ& k (x, t) , |
(7.1.11) |
удовлетворяющие коммутационным соотношениям (7.1.1)−(7.1.3).
Для действительного векторного поля частицы спина единица коммутационные соотношения были выписаны в разделе 5.3:
|
[vμ (x), vν (y)]− |
L |
ημν − |
∂μ∂ν O |
|
= M |
|
P |
|
m2 |
|
|
N |
|
Q |
390 |
Глава 7. Канонический формализм |
(Мы пишем vμ вместо Vμ, так как хотим сохранить заглавные буквы
для обозначения полей в гейзенберговском представлении.) В данном случае канонические переменные для свободных частиц можно выбрать в виде:
|
|
q |
i |
x |
|
= v |
i |
( |
x |
, t) , |
(7.1.12) |
|
|
|
( , t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
= & i |
|
|
|
+ |
∂v0 |
(x, t) |
(7.1.13) |
pi ( |
x |
, t) |
|
( |
x |
, t) |
|
|
, |
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂xi |
|
где i = 1, 2, 3. Читатель может проверить, что величины (7.1.12) и (7.1.13) удовлетворяют перестановочным соотношениям (7.1.1)−(7.1.3).
Полевые уравнения (5.3.36) и (5.3.38) вместе с формулой (7.1.13) позволяют выразить v0 через другие переменные:
поэтому v0 не рассматривается в качестве независимой переменной q. На случай комплексного векторного поля эти результаты обобщаются точно так же, как и в случае комплексного скалярного поля.
Для дираковского поля немайорановских частиц спина 1/2 из результатов раздела 5.6 следует, что антикоммутатор полей равен
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ψ n (x), ψ |
† |
(y)]+ = |
(−γ μ∂μ + m)β |
|
|
(x − y) , |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
[ψ n (x), ψ |
|
(y)]+ = 0 . |
n,n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
Было бы непоследовательно выбрать ψn è ψn† в качестве независи-
мых канонических переменных, так как их антикоммутатор не обращается в нуль при равных временах. Вместо этого принято определять
qn (x) ≡ ψ |
n |
(x) , |
(7.1.15) |
|
|
|
|
|
|
p |
n |
(x) ≡ iψ† |
(x) . |
(7.1.16) |
|
|
n |
|
|
Легко видеть, что (7.1.15) и (7.1.16) удовлетворяют каноническим антикоммутационным соотношениям (7.1.1)−(7.1.3).
Для любой системы операторов, удовлетворяющих коммутационным или антикоммутационным соотношениям типа (7.1.1)−(7.1.3),
7.1. Канонические переменные |
391 |
можно определить квантово-механическую функциональную производную. Именно, для произвольного бозонного функционала F[q(t),p(t)] от операторов qn(x,t) è pn(x,t) при фиксированном времени t мы определяем *
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δF[q(t), p(t)] |
≡ i |
|
pn (x, t),F[q(t), p(t)] |
|
, |
(7.1.17) |
|
|
|
|
|
|
δq n (x, t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δF[q(t), p(t)] |
|
≡ i |
|
F[q(t), p(t)], q n (x, t) |
|
. |
(7.1.18) |
|
|
|
|
|
δpn (x, t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это определение мотивируется тем, что если записать F[q(t),p(t)] так, что все q окажутся слева от всех p, то (7.1.17) и (7.1.18) являются, соответственно, левыми и правыми производными по qn è pn. Иначе говоря, для произвольной с-числовой ** вариации δq è δp операторов q и p имеем:
|
F |
|
δF[q(t), p(t)] |
δF[q(t), p(t)] = z d3xåG |
δqn (x, t) |
δ |
n |
( |
x |
, t) |
n |
H |
|
q |
|
|
+ |
δF[q(t), p(t)] |
δpn |
I |
δpn (x, t) |
(x, t)J . |
|
|
K |
Для более общих функционалов следует дополнить определения (7.1.17) и (7.1.18) различными знаками и коммутаторами при равных временах.
В частности, H0 является генератором трансляций по времени, действующим на свободные частицы в следующем смысле:
q n (x, t) = exp(iH |
0 |
t)q n (x,0) exp(−iH |
0 |
t) , |
(7.1.19) |
|
|
|
|
* Здесь используются обозначения, употребляемые далее по всей книге. Если f(x,y) есть функция двух классов переменных, коллективно обозначенных x и y, то F[f(y)] означает функционал, зависящий от значений f(x,y) при всех x, но при фиксированном y. Бозонным мы называем такой функционал, в котором каждое слагаемое содержит только четное число фермионных полей.
** Åñëè qn è pn − бозонные или фермионные операторы, то считается, что δqn è δpn соответственно коммутируют или антикоммутируют со всеми фер-
мионными операторами и коммутируют со всеми бозонными операторами.
392 |
Глава 7. Канонический формализм |
|
pn (x, t) = exp(iH0t)pn (x,0) exp(−iH0t) , |
(7.1.20) |
так что операторы свободных частиц зависят от времени по закону:
& n |
( |
x |
, t) = i[H0 |
, q |
n |
( |
x |
, t)] = |
|
δH0 |
, |
|
(7.1.21) |
|
|
|
q |
|
|
|
|
dpn (x, t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
(x, t) = i[H0 , pn (x, t)] = - |
δH0 |
|
. |
|
pn |
dqn (x, t) |
(7.1. 22) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мы узнаем в этих выражениях всем известные динамические уравнения гамильтонова формализма.
Гамильтониан свободных частиц задается, как всегда, выражением
H0 = å z d3k a† (k, s, n) a(k, s, n) |
|
. |
|
k2 + m2n |
(7.1.23) |
n,σ |
|
Его можно переписать через q и p, взятые в момент времени t. Например, легко видеть, что для действительного скалярного поля выражение (7.1.23) с точностью до постоянного слагаемого равно функционалу
|
L |
|
1 |
|
|
O |
|
H0 |
= z d3x M |
1 |
p2 |
+ |
(Ñq)2 |
+ |
21 m2q2 P . |
(7.1.24) |
2 |
2 |
|
N |
|
|
|
|
Q |
|
Более аккуратно, используя (7.1.7) и фурье-разложение скалярного поля j, находим, что (7.1.24) принимает вид
H0 = |
1 |
3 0 |
|
† |
|
3 |
0 |
æ |
† |
(k)a(k) + |
2 |
ò d kk |
[a(k), a |
|
(k)]+ |
= ò d kk |
|
ça |
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
(7.1.25) Это выражение совпадает с (7.1.23), если не считать бесконечного постоянного слагаемого. Подобные слагаемые влияют только на выбор начала отсчета энергии, и в отсутствие гравитации не имеют физического значения *.
* Однако изменения таких слагаемых, обусловленные изменением граничных условий на поля, как например, при квантовании полей не во всем пространстве, а в пространстве между параллельными пластинами, не только физически значимы, но и были измерены 1.