Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 7062

Скачиваний: 12

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

6.4. Выход с массовой оболочки

379

6.4.Выход с массовой оболочки

Âфейнмановских диаграммах, отвечающих любому матрич- ному элементу S-матрицы, все внешние линии находятся «на мас-

совой оболочке». Иначе говоря, связанный с внешней линией 4- импульс частицы массой m удовлетворяет условию pμpμ = −m2.

Однако часто необходимо рассматривать фейнмановские диаграммы «вне массовой оболочки». Для них энергии, отвечающие внешним линиям, как и энергии, сопоставляемые внутренним линиям, являются свободными параметрами, не связанными жестко с ка- ким-то трехмерным импульсом. Например, подобные ситуации возникают, когда диаграммы являются частями большей фейнмановской диаграммы. Так, петля на некоторой внутренней линии диаграммы может рассматриваться как диаграмма с двумя внешними линиями, находящимися вне массовой оболочки.

Конечно, если мы вычислили вклад данной фейнмановской диаграммы вне массовой оболочки, нетрудно вычислить и соответствующие элементы S-матрицы, совершив переход на массовую

оболочку, т. е. положив компоненты текущего по линии 4-импульса pμ, который входит в диаграмму, равными p0 = (p2 + m2 )1/2 äëÿ

частиц в начальном состоянии и p0 = −(p2 + m2 )1/2 для частиц

в конечном состоянии, и включив необходимые множители для внешних линий: (2π)−3/2ul è (2π)−3/2vl* для начальных частиц или античастиц, и (2π)−3/2ul* è (2π)−3/2vl для конечных частиц или анти-

частиц. Когда мы перейдем к обсуждению в гл. 8 подхода, основанного на функциональных интегралах, будет видно, что проще всего сначала вывести фейнмановские правила для диаграмм, все внешние линии которых лежат вне массовой оболочки, а затем получить матричные элементы S-матрицы, устремив импульсы внешних линий к их значениям на массовой оболочке.

Фейнмановские диаграммы с линиями вне массовой оболочки являются частным случаем более общих фейнмановских правил, учитывающих эффекты различных возможных внешних полей. Предположим, что мы добавили к гамильтониану сумму слагаемых, включающих внешние поля εa(x), так что взаимодействие V(t),

входящее в дайсоновское разложение (3.5.10) для S-матрицы, заме-

няется на

Vε (t) = V(t) + åz d3x εa (x, t)oa (x, t) .

(6.4.1)

a

380

Глава 6. Фейнмановские правила

«Òîêè» oa(t) зависят от времени так, как полагается в представлении взаимодействия:

oa (t) = exp(iH0t)oa (0) exp(−iH0t) ,

(6.4.2)

но в остальном являются вполне произвольными операторами. S-матрица для любого перехода α → β становится в этом случае функционалом Sab[ε] от с-числовой функции εa(t). Фейнмановские

правила для вычисления этого функционала определяются очевидным обобщением обычных правил Фейнмана. В дополнение к получаемым из V(t) вершинам, следует включить новые вершины: если oa(x) есть произведение na полевых множителей, то всякая вершина oa с координатой x и с na подсоединенными к ней линиями соответствующего типа согласно правилам Фейнмана в координатном представлении дает вклад, равный −iεa(x), умноженный на

содержащиеся в oa(x) числовые факторы. Отсюда следует, что r-ая вариационная производная Sβα[ε] ïî εa(x), εb(y) ... ïðè ε = 0

дается в координатном представлении диаграммами с r дополнительными вершинами, к которым подсоединены соответственно na, nb, ... внутренних линий, а внешние линии отсутствуют. Указанные вершины имеют координаты x, y, ..., по которым не производится интегрирование. Вклад каждой такой вершины равен произведению −i на тот числовой фактор, который содержится в соответствую-

ùåì òîêå oa.

В частности, если все токи представляют собой поля, т. е.

Vε (t) = V(t) + å z d3x εa (x, t)oa (x, t) ,

a

то r-ая вариационная производная Sβα[ε] ïî εl(x), εm(y), ... ïðè ε = 0

изображается в координатном представлении диаграммами, имеющими r дополнительных вершин с координатами x, y, ..., причем к каждой из них подсоединена одна единственная внутренняя линия типа l, m, ... Такие линии можно рассматривать как внешние линии вне массовой оболочки, с той только разницей, что их вклад в матричный элемент равен не коэффициентной функции типа (2π)−3/ 2ul(p,σ)eip•x èëè (2π)−3/2ul*(p,σ)e−ip•x, а пропагатору, умноженному на множитель −i от вершины в конце линии. В импульсном пред-

ставлении фейнмановская диаграмма с частицами на массовой обо-

6.4. Выход с массовой оболочки

381

лочке в состояниях α è β и r внешними линиями типа l, m, ... с импульсами р, р′, ..., получается из вариационной производной

L

δrSβα [ε]

O

M

P

δε

(x)δε

M

(y). . . P

N

l

m

Qε =0

путем отбрасывания пропагаторов на каждой из линий вне массовой оболочки, взятия соотвтствующего фурье-образа и умножения на коэффициентные функции ul, ul* и т. д., а также на (−i)r.

Во многих случаях полезным оказывается простое соотношение между суммой вкладов всех диаграмм теории возмущений для любой амплитуды вне массовой поверхности и матричным элементом между собственными состояниями полного гамильтониана от хронологически упорядоченного произведения соответствующих операторов в гейзенберговском представлении. Это соотношение вытекает из теоремы 3, утверждающей, что во всех порядках теории возмущений *

L

δrSβα [ε]

O

Ψ−

Ψ+

M

P

=

d

, T −iO

(x),−iO

(y). . .

,

(6.4.3)

β

l

a

b

q

α i

M

δεa (x)δεb (y). . . P

N

Qε =0

ãäå Oa(x) и т. д. являются аналогами oa(x) в гейзенберговоском представлении:

O

(

x t

=

iHt o

a (

x

,0) exp(

−iHt

= Ω t o

x t

Ω−1

t

(6.4.4)

a

, )

exp( )

)

( )

a

( , )

( ) ,

Ω t

≡ eiHte−iH0t

,

(6.4.5)

( )

à Ψα+ è Ψβ− − собственные «ин» и «аут» состояния полного гамильтониа-

íà.

Дадим доказательство. Из формулы (3.5.10) следует, что левая часть (6.4.3) равна

*Для единственного оператора О это утверждение составляет швингеровский принцип действия 4.

382

Глава 6. Фейнмановские правила

L

d

rS

O

∞

(-i)

N+ r

∞

M

βα [e]

P

= å

z

dt1 . . . dtN

(x1). . . dea

M dea

(xr ) P

N=0

N !

N

1

r

Qε =0

−∞

(6.4.6)

´ eFβ , ToV(t1). . . V(tN )oa1 (x1). . . oar (xr )tFα j .

Для определенности положим x10 ³ x20

³ . . . ³ x0r

. Тогда все t,

большие x 0, можно обозначить

τ01 . . . τ0N

, âñå t между x

0 è x 0

-

τ11

1

0

1

2

. . . τ1N , и т. д. Наконец, все t, меньшие x

0, можно обозначить

1

. После этого (6.4.6) принимает вид:

r

τ r1 . . . τ rN

r

L

drSβα [e]

O

∞

(-i)N+ r

N ! dN,N0 +N1 +...Nr

M

P

= å

å

(x1). . . dea

M dea

(xr ) P

N=0

N ! N N

...N

N0

! N1 !. . .

Nr !

N

1

r

Qε =0

0

1

r

∞

x0

x0

1

r

´zx10 dt01 . . . dt0N0 zx20 dt11

. . . dt1N1 . . . z−∞ dtr1

. . . dtrNr

eFβ , ToV(t01). . . V(t0N0 )toa1 (x1)ToV(t11). . . V(t1N1 )toa2 (x2 ). . .

´ . . . oar (xr )ToV(tr1). . . V(trNr )tFα j .

Множитель N!/N0!N1!...Nr! равен числу способов рассортировать N переменных t по r+1 подмножествам, содержащим N0, N1, . . ., Nr

этих переменных. Вместо суммирования по N0, N1, . . .,Nr с учетом условия N0 + N1 + . . . + Nr = N, а затем суммирования по N, можно просто суммировать независимо по N0, N1, . . ., Nr, полагая N в множителе (-i)N равным N0 + N1 + . . . + Nr. Получаем:

L

drSβα [e]

O

M

P

= (-i)r eFβ , U(¥, x10 )oa1 (x1)

(x1). . . dea

M dea

(xr ) P

N

1

r

Qε =0

(6.4.7)

´ U(x10 , x20 )oa2 (x2 )U(x20 , x30 ). . . oar (xr )U(x0r ,-¥)Fα j ,

ãäå

∞

N

U(t¢, t) = å

(-i)

ztt′

dt1 . . . dtNTlV(t1). . . V(tN )q .

(6.4.8)

N=0

N !

Смотрите также файлы