Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 7045

Скачиваний: 12

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

402

Глава 7. Канонический формализм

&

0 =

dL[Q(t), Q(t), C(t)]

.

(7.2.20)

dCr (x, t)

В простейших случаях, рассматриваемых в этой главе, получен-

ные уравнения вместе с уравнениями (7.2.18) можно решить, и

r

è

& l

как функции Q и P. В разделе 7.6 показано, каким

найти C

Q

образом можно на самом деле избежать реального решения уравне-

r

è

& l

. В калибровочных теориях типа электродинамики

íèé äëÿ C

Q

следует использовать другие методы: либо выбирать конкретную калибровку, как это сделано в гл. 8, либо применять обсуждаемые в т. II более современные ковариантные методы.

Так как мы вывели выражение для гамильтониана как функционала от Q и P в гейзенберговском представлении, то для использования теории возмущений необходимо совершить переход к представлению взаимодействия. Гамильтониан не зависит от времени, поэтому его можно записать через операторы Pn è Qn при t = 0, которые совпадают с операторами pn è qn, взятыми в тот же момент времени в представлении взаимодействия. Полученный таким образом гамильтониан можно выразить через q и р в представлении взаимодействия и разбить на две части: должным образом выбранный гамильтониан H0 для свободных частиц и оператор взаимодействия V. Наконец, используются уравнения (7.1.21) и (7.1.22), устанавливающие зависимость от времени, и коммутационные или антикоммутационные соотношения (7.1.1)-(7.1.2), чтобы выразить q и р в V(t) в виде линейных комбинаций операторов уничтожения и рождения.

Несколько примеров этой процедуры приведено в разделе 7.5. Сейчас ограничимся только одним простейшим примером — скалярным полем с гамильтонианом (7.2.17). Разбиваем Н на два слагаемых — гамильтониан свободных частиц, и гамильтониан

взаимодействия:

H = H0 + V ,

(7.2.21)

H0

L

1 P2

+ 1 (ÑF)2

O

(7.2.22)

= z d3x M

+ 1 m2F2 P

,

N

2

2

2

Q

V = z d3x H (F) .

(7.2.23)

7. 2. Лагранжев формализм

403

Здесь F è P берутся в один момент времени t, а Н не зависит от t,

хотя обычно это неверно для Н0 è V.

Теперь переходим к представлению взаимодействия. Полагая t = 0 в формулах (7.2.22) и (7.2.23), можно просто заменить F, P на переменные в представлении взаимодействия j, p, так как соглас-

но (7.1.28) и (7.1.29) эти величины совпадают друг с другом при t = 0. Чтобы получить оператор взаимодействия V(t) в представлении взаимодействия, применим преобразование подобия (3.5.5):

V(t) = exp(iH0t)V exp(-iH0t) = z d3x H (j(x, t)) .

(7.2.24)

Такое же преобразование, примененное к Н0, оставляет его постоянным:

H0

L

1 p2

(x, t) + 1

O

(7.2.25)

= exp(iH0t)H0 exp(-iH0t) = z d3xM

(Ñj(x, t))2 P .

N

2

2

Q

Связь между p è ϕ& определяется формулой (7.1.21)

&

x t

δH0

= p(

x t

(7.2.26)

j(

, ) =

dp(x, t)

, ).

(Полученное соотношение совпало с (7.2.16), но как будет видно дальше, в общем случае это не так.) Кроме того, уравнение движения для j определяется формулой (7.1.22):

p(

, ) = -

δH0

= +Ñ

j(

, ) -

j(

, ) ,

(7.2.27)

&

x t

dj(x, t)

2

x t

m2

x t

что вместе с (7.2.26) приводит к полевому уравнению

(

-

m2

)j(

) = 0 .

(7.2.28)

9

x

Общее действительное решение этого уравнения можно записать в виде

j(x) = (2p)-3/2 z d3p(2p0 )-1/2 eip×xa(p) - e-ip×xa† (p) , (7.2.29)

404

Глава 7. Канонический формализм

где подразумевается, что p0 = p2 + m2 , à a(p) − некоторая пока

что неизвестная операторная функция p. С помощью (7.2.26) получаем канонически сопряженный импульс

π(x) = −i(2π)-3/2 z d3p(2p0 )-1/2

eip×xa(p) − e-ip×xa† (p)

.

(7.2.30)

Чтобы получить желаемые коммутационные соотношения

[ϕ(x, t), π(y, t)]- = iδ3 (x − y),

(7.2.31)

[ϕ(x, t), ϕ(y, t)]-

= 0,

(7.2.32)

[π(x, t), π(y, t)]-

= 0,

(7.2.33)

следует принять, что операторы a удовлетворяют известным коммутационным соотношениям

[a(p), a† (p′)] = δ3 (p − p′),

(7.2.34)

[a(p), a(p′)] = 0.

(7.2.35)

Кроме того, мы уже показали в предыдущем разделе, что с помощью этих выражений формула (7.2.25) с точностью до неопределенной аддитивной константы переходит в обычную формулу (4.2.11) для гамильтониана свободных частиц. Как было отмечено, эти результаты не следует рассматривать как альтернативный вывод формул (7.2.29), (7.2.34) и (7.2.35), полученных в гл. 5 из совершенно иных соображений, а как проверку того, что первые два слагаемых в (7.2.14) являются правильным лагранжианом свободных частиц для действительного скалярного поля. Теперь можно использовать теорию возмущений длля вычисления S-матрицы, взяв за V(t) выражение (7.2.24), где поле ϕ(x) дается формулой (7.2.29).

Описанная здесь процедура будет рассмотрена в разделе 7.5 на более сложных и интересных примерах.

* * *

7.3. Глобальные симметрии

405

При изучении различных возможных плотностей лагранжианов физических теорий часто приходится применять интегрирование по частям, рассматривая плотности лагранжианов, отличающиеся на полную дивергенцию ¶μF μ, как эквивалентные. Очевидно,

что такие полные дивергенции не дают вклада в действие и поэтому не влияют на полевые уравнения. Столь же очевидно, что слагаемые с пространственной производной Ñ×F в плотности лагранжиана

не дают вклада в лагранжиан и поэтому не влияют на определяемую им квантовую теорию *. Менее очевидно и заслуживает упоминания, что добавление производной по времени ¶0F 0 в лагранжиан

также не влияет на квантовую структуру теории. Чтобы увидеть это, рассмотрим сначала результат добавления к лагранжиану слагаемого более общего вида

3

& n

(7.2.36)

DL(t) = z d

xDn,x [Q(t)]Q

(x, t) ,

ãäå D - зависящий от n и x произвольный функционал от значений

Q в данный момент времени. Это приводит к следующей добавке к

&

сопряженным величинам P(t) как функционалам от Q(t) и Q(t):

DPn (x, t) =

δΔL(t)

= Dn,x

[Q(t)] .

(7.2.37)

& n

(x, t)

dQ

Отсюда следует, что гамильтониан, записанный как функционал от

Q(t) è & , не изменяется:

Q(t)

3

& n

(x, t) - DL(t) = 0 .

(7.2.38)

z d

x DPn (x, t)Q

Поэтому гамильтониан как функционал старых канонических переменных Qn è Pn не изменяется, но как функционал новых канони- ческих переменных Qn è Pn + DPn он имеет другой вид, а в теории, описываемой новым лагранжианом L + DL, каноническим

коммутационным соотношениям должны удовлетворять не Qn è Pn,

* Утверждение верно при обычном предположении, что поля исчезают на бесконечности. При рассмотрении полей разной топологии (см. т. II) эти результаты не всегда применимы.

406

Глава 7. Канонический формализм

а новые канонические переменные Qn è Pn + Pn. Коммутаторы Qn друг с другом и с Pm даются обычными каноническими соотношениями, но коммутаторы Pn друг с другом равны теперь

[Pn (x, t), Pm (y, t)] = [Pn (x, t) + Pn (x, t), Pm (y, t) + Pm (y, t)]

− [Pn (x, t), Pm (y, t) + Pm (y, t)] − [Pn (x, t) + Pn (x, t), Pm (y, t)]

+[ Pn (x, t), Pm (y, t)] = −i

δDn,x

[Q(t)]

+ i

δDm,y [Q(t)]

(7.2.39)

.

δQm

(y, t)

δQn (x, t)

В общем случае, это не равно нулю, однако если добавочное слагаемое в лагранжиане является полной производной по времени,

dG

3

δG[Q(t)] & n

L =

= z d

x

Q

(x, t),

(7.2.40)

dt

δQ

n

(x, t)

то D в (7.2.36) имеет специальный вид

Dn,x [Q] =

δG[Q(t)]

δQn (x, t) .

(7.2.41)

В этом случае коммутатор (7.2.39) обращается в нуль, и переменные Qn è Pn удовлетворяют обычным коммутационным соотношениям. Мы уже видели, что изменение лагранжиана вида (7.2.36) не изменяет формы гамильтониана как функционала от Qn è Pn. Как только что было показано, коммутационные соотношения для этих величин также не изменяются, поэтому добавление слагаемого (7.2.36) к лагранжиану не влияет на квантовую структуру теории. Таким образом, разные плотности лагранжианов, получающиеся друг из друга интегрированием по частям, могут рассматриваться как эквивалентные и в классической, и в квантовой теории поля.

7.3. Глобальные симметрии

Мы подошли к главному свойству лагранжева формализма: он представляется наиболее естественным для квантово-механической

Смотрите также файлы