Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 7043

Скачиваний: 12

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

7.3. Глобальные симметрии

407

реализации принципов симметрии. Дело в том, что динамические уравнения в лагранжевом формализме имеют форму, следующую из вариационного принципа — принципа стационарности действия. Рассмотрим любое бесконечно малое преобразование полей

Ψl (x) → Ψl (x) + iε F l (x) ,

(7.3.1)

оставляющее действие инвариантным *:

0 = δI = iε z d4x

δI[Ψ]

F l (x) .

(7.3.2)

l

δΨ

(x)

(Åñëè ε − постоянная величина, такие симметрии называются гло-

бальными. В общем случае F l зависит от полей и их производных в точке x.) Конечно, соотношение (7.3.2) автоматически выполняется для всех бесконечно малых вариаций полей, если сами поля удовлетворяют динамическим уравнениям. Бесконечно малые преобразования симметрии − это такие преобразования, которые оставля-

ют инвариантным действие даже тогда, когда динамические уравнения не удовлетворяются. Если теперь мы рассмотрим то же самое преобразование, считая ε произвольной функцией точки пространства−времени,

Ψl (x) → Ψl (x) + iε(x) F l (x) ,

(7.3.3)

то в общем случае вариация действия не обратится в нуль. Однако она должна иметь вид

δI = − z d4x Jμ (x)

∂ε(x)

,

(7.3.4)

∂xμ

для того, чтобы быть равной нулю, когда ε(x) действительно постоянна. Если теперь принять, что поля в I[Ψ] удовлетворяют

полевым уравнениям, тогда I будет стационарным по отношению к

* Нижеследующее рассмотрение (неявно) содержит два тонких пункта. Вопервых, поля Ψl(x) в (7.3.1) должны включать решения динамических

уравнений, т. е. последние должны входить в область определения действия I[Ψ] (см. примечание редактора на с. 397). Во-вторых, чтобы было верно (7.3.2), вариация симметрии iεFl(x) должна быть допустимой (исчезать на

бесконечности),. — Прим. ред.

408

Глава 7. Канонический формализм

произвольным вариациям полей, обращающимся в нуль на больших пространственно-временных расстояниях, включая и варации вида (7.3.3), так что в этом случае (7.3.4) должно обращаться в нуль. Интегрируя по частям, видим, что Jμ(x) должен удовлетворять

закону сохранения

0 =

∂Jμ

(x)

.

(7.3.5)

∂xμ

Отсюда немедленно следует, что

0 =

dF

,

(7.3.6)

dt

ãäå

F ≡ z d3x J0 .

(7.3.7)

Каждому независимому бесконечно малому преобразованию симметрии соответствует только один сохраняющийся ток Jμ è îäèí

интеграл движения F. Это общее свойство канонического формализма, часто называемое теоремой Нетер: наличие симметрий влечет существование законов сохранения *.

Многие преобразования симметрии оставляют инвариантным не только действие, но и лагранжиан. Например, так обстоит дело в случае пространственных трансляций и поворотов, а также изоспиновых преобразований и других преобразований внутренних симметрий, хотя для общих преобразований Лоренца это не выполняется. Если лагранжиан инвариантен, можно продвинуться дальше и написать явную формулу для сохраняющейся величины F. Рассмотрим вариацию поля (7.3.3), в которой ε(x) зависит от t, но не от x. В

этом случае вариация действия равна

&

δI = i

z

z

L δL[Ψ(t), Ψ(t)]

ε(t)F l (x, t)

dt

d3xM

δΨl (x, t)

N

δ

Ψ

&

O

(7.3.8)

(t),

Ψ

(t)] d

L[

+

cε(t)F l (x, t)hP .

&

l

(x, t) dt

δΨ

Q

* Стандартно понимаемая теорема Нетер утверждает не только существование законов сохранения, но и их конкретный вид, т. е. явный вид сохраняющегося нетеровского тока Jμ и интеграла движения F, отвечающих данному действию I и

данной симметрии (7.3.1) (см. ниже на с. 409). — Прим. ред.

7.3. Глобальные симметрии

409

Требование инвариантности лагранжиана под действием этого преобразования при постоянном ε приводит к равенству:

L δL

Ψ t

&

δL

Ψ t

&

O

Ψ t

Ψ t d

0 = z d3xM

[

( ),

( )]

F l (x, t) +

[

( ),

( )]

F l (x, t)P ,

(7.3.9)

l

(x, t)

& l

(x, t) dt

N

δΨ

δΨ

Q

Поэтому для произвольных полей (удовлетворяющих или не удовлетворяющих полевым уравнениям) вариация действия равна

&

δI = iz dtz d3x

δL[Ψ(t), Ψ(t)]

ε&(t)F l (x, t) .

(7.3.10)

& l

(x, t)

δΨ

Сравнивая это с формулой (7.3.4), получаем:

&

F = −iz d3x

δL[Ψ(t), Ψ(t)]

F l (x, t) .

(7.3.11)

& l

δΨ

(x, t)

Используя условие симметрии (7.3.9), читатель может легко убедиться, что полученная величина F действительно не зависит от времени для любых полей, удовлетворяющих динамическим уравнениям (7.2.2).

Другие преобразования симметрии, например, изоспиновые вращения, оставляют инвариантными не только действие и лагранжиан, но и плотность лагранжиана. В таких случаях можно продвинуться еще дальше и записать явную формулу для тока Jμ(x) *. Åñëè

представить действие в виде интеграла от плотности лагранжиана, как в (7.2.6), то вариация действия при преобразовании (7.3.3) с произвольным бесконечно малым параметром ε(x) имеет вид

*Явную формулу для тока Jμ(x) можно написать и в общем случае. В этом

èсостоит конструктивное содержание теоремы Нетер. Именно, при общем преобразовании симметрии (7.3.1) плотность лагранжиана L(ψ(x), ∂ψ(x)/∂xμ)

изменяется на полную дивергенцию, δ L = i∂μ(εΣμ(x)), откуда, при постоянном ε, следует явный вид сохраняющегося нетеровского тока:

μ

F

μ

∂L

l

I

J

(x) = iG

Σ

(x) −

F

J .

∂(∂Ψ

l

∂x

μ

)

H

K

— Ïðèì. ðåä.

410

Глава 7. Канонический формализм

L ∂L(Ψ(x), ∂μ Ψ(x))

δI[Ψ] = iz d4xM

F l (x)ε(x)

∂Ψl

(

x

)

N

∂L(Ψ(x), ∂μ Ψ(x))

O

(7.3.12)

+

∂μ cF l (x)ε(x)hP .

∂(∂μ Ψl (x))

P

Q

Из инвариантности плотности лагранжиана при постоянном ε ñëå-

äóåò, ÷òî

0 =

∂L(Ψ(x), ∂μ Ψ(x))

(x) +

∂L(Ψ(x), ∂μ Ψ(x))

∂μ F l (x) ,

F l

(7.3.13)

∂Ψl (x)

∂(∂μ Ψl (x))

так что для произвольных полей эта вариация имеет вид

δI[Ψ] = iz d4x

∂L(Ψ(x), ∂μ Ψ(x))

∂μ ε(x) .

(7.3.14)

l

(x))

∂(∂μ Ψ

Сравнение с (7.3.4) показывает, что *

Jμ = −i

∂L

F l .

(7.3.15)

∂(∂Ψl

∂xμ )

С помощью условия симметрии (7.3.13) нетрудно показать, что если поля удовлетворяют уравнениям Эйлера−Лагранжа (7.2.9), то выполняется равенство ∂μJμ = 0. Заметим также, что интеграл от

временной компоненты тока (7.3.15) имеет ранее полученное значе- ние (7.3.11).

До сих пор все сказанное было применимо как для классиче- ской, так и для квантово-механической теорий поля. Квантовые свойства сохраняющихся величин F проще всего видны для симметрий функции Лагранжа (не обязательно лагранжиана), преобразующих канонические поля Qn(x,t) (т. е. те из полей Ψl, производные

по времени от которых входят в функцию Лагранжа) в зависящие

* Ср. с выражением в примечании на с. 409 при Σμ = 0. — Ïðèì. ðåä.

Смотрите также файлы