Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

от x функционалы от самих этих полей в тот же момент времени. При таких преобразованиях

Как мы увидим, бесконечно малые пространственные трансляции и вращения, а также все бесконечно малые преобразования внутренних симметрий имеют вид (7.3.1), (7.3.16), где F n − линейный

функционал от Qm. Однако в данный момент не потребуется предположение, что симметрия линейна. Для всех подобных симметрий оператор F не только сохраняется. В рамках квантовой механики он также действует как генератор такой симметрии.

Чтобы увидеть это, прежде всего заметим, что в случае, когда Ψl есть каноническое поле Qn, функциональная производная δL/δΨl равна канонически сопряженному импульсу Pn, тогда как если Ψl есть вспомогательное поле Cr, эта функциональная произ-

водная равна нулю. Поэтому можно переписать (7.3.11) в виде:

F = −iz d3xPn (x, t)F n (x, t) = −iz d3xz d3 yPn (x, t)F n [Q(t); x] . (7.3.17)

Чтобы вычислить коммутатор (но не антикоммутатор) F с каноническим полем Qm(x,t) в произвольный момент времени t, достаточно сослаться на закон сохранения (7.3.6), согласно которому в (7.3.17) можно подставлять Q и Р в произвольный момент времени t, а затем использовать канонические коммутационные соотношения при равных временах (7.1.30)−(7.1.32). В результате получаем *:

Именно в этом смысле F является генератором преобразования (7.3.16). Из формулы (7.3.17) и канонических коммутационных соотношений следует также, что

* Мы предполагаем, что для бозонных или фермионных Qn вариация F n также является, соответственно, бозонной или фермионной, так что F — бозонный оператор. Единственным исключением являются так называемые суперсимметрии, для которых F — фермионный оператор. Тогда, если Qn — фермионный оператор, то в левой части (7.3.18) стоит антикоммутатор.

412 Глава 7. Канонический формализм

Оно имеет вид (7.3.1) с четырьмя независимыми параметрами eμ è

соответствующими четырьмя функциями преобразования

Как следствие имеем четыре независимых сохраняющихся тока, которые принято объединять в тензор энергии-импульса Tμν:

Отсюда можно вывести выражения для не зависящих от времени величин, равных интегралам по пространству от временных компонент отвечающих трансляциям «токов» (не путать с канонически сопряженными полевыми переменными Pn(x,t)):

Лагранжиан инвариантен относительно пространственных трансляций, так что в соответствии с изложенными выше общими результатами можно сделать вывод, что пространственные компоненты Pν имеют вид

входить в правую часть полевых уравнений общей теории относительности. Правильный симметричный тензор энергии-импульса Θμν, который можно использовать как источник гравитационного

поля, вводится в следующем разделе.)

Во многих теориях имеется один или несколько дополнительных принципов симметрии, утверждающих инвариантность действия относительно некоторых линейных не зависящих от координат преобразований как канонических полей

так и любых вспомогательных полей Cr:

Здесь ta è τa − наборы эрмитовых матриц, реализующих некоторые

представления алгебры Ли группы симметрии, и подразумевается суммирование по повторяющимся групповым индексам a, b, и т. д. (Например, подобная симметрия существует в электродинамике, когда единственная матрица tnm диагональна, причем на главной диагонали стоят заряды соответствующего поля.) Каждая такая симметрия порождает свой набор сохраняющихся токов Jaμ :

временные компоненты которых являются плотностями не зависящих от времени операторов

Если не только действие, но и лагранжиан инвариантны относительно преобразований (7.3.36), то из (7.3.11) вытекает явная формула для Ta:

Тогда из одновременных коммутационных соотношений следует, что