ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 7049
Скачиваний: 12
416 Глава 7. Канонический формализм
[T , Qn (x)] = −(t |
a |
) n |
Qm (x) , |
(7.3.41) |
a |
m |
|||
[T , P (x)] = −(t |
a |
) m |
P (x) . |
(7.3.42) |
a n |
n |
m |
(В случае, когда оператор ta диагонален, отсюда следует, что операторы Qn è Pn, соответственно, понижают и повышают значение Ta на величину, равную n-ому диагональному элементу ta.) Эти формулы позволяют вычислить коммутаторы генераторов друг с другом:
[Ta , Tb ]− = iz d3x −Pm (ta )mn(tb )nk Qk + Pn (tb )nk (ta )kmQm . (7.3.43)
Соответственно, если матрицы ta образуют алгебру Ли со структурными константами fabc,
[ta , tb ]− = ifab c tc , |
(7.3.44) |
это же верно и для квантовых операторов Ta: |
|
[Ta , Tb ]− = ifab c Tc . |
(7.3.45) |
Этот результат подтверждает правильную нормировку операторов (7.3.40) как генераторов группы симметрии.
Если лагранжиан есть интеграл от плотности лагранжиана, которая инвариантна относительно преобразований (7.3.36) и (7.3.37), можно продвинуться дальше и получить с помощью (7.3.15) явные формулы для токов, соответствующихс этим глобальным симметриям:
J |
μ ≡ −i |
∂L |
(t )n |
Qm − i |
∂L |
(τ )r Cs . |
||||
(7.3.46) |
||||||||||
∂(∂Qn |
∂xμ ) |
∂(∂Cr |
∂xμ ) |
|||||||
a |
a |
m |
a s |
|||||||
В качестве иллюстрации предположим, что у нас имеется два действительных скалярных поля равной массы с плотностью лагранжиана
L = − 21 ∂μ Φ1∂μ Φ1 − 21 m2Φ12 − 21 ∂μ Φ2∂μ Φ2 − 21 m2Φ22 − H(Φ12 + Φ22 ) .
(7.3.47)
7.3. Глобальные симметрии |
417 |
Она инвариантна относительно линейного преобразования вида
(7.3.36):
δΦ1 = −εΦ2 , δΦ2 = +εΦ1 ,
так что существует сохраняющийся ток (7.3.46)
Jμ = Φ2∂μΦ1 − Φ1∂μΦ2 .
Явную формулу (7.3.46) для тока можно использовать для вывода других полезных коммутационных соотношений. В частности, поскольку плотность лагранжиана не содержит производных по времени от вспомогательных полей, имеем:
J0 |
= −iP |
(t |
)n |
m |
Qm . |
(7.3.48) |
a |
n |
a |
Поэтому можно получить одновременные коммутаторы канонических полей и сопряженных им импульсов не только с генераторами симметрии Ta, но и с плотностями Ja0:
[J0 |
(x, t), Qn (y, t)] = −δ3 (x − y)(t )n |
Qm (x, t) , |
(7.3.49) |
|||
a |
a |
m |
||||
[J0 |
(x, t), P |
(y, t)] = δ3 (x − y)(t )n |
m |
P (x, t) . |
(7.3.50) |
|
a |
m |
a |
n |
|||
Если вспомогательные поля построены как локальные функции от P и Q таким образом, что они преобразуются по представлению алгебры симметрии с генераторами τa, òî äëÿ íèõ
[Ja0 (x, t), Cr (y, t)] = −δ3 (x − y)(τa )r s Cs (x, t) . |
(7.3.51) |
Мы часто будем объединять (7.3.49) и (7.3.51) в одно коммутационное соотношение
[J0 |
(x, t), Ψl (y, t)] = −δ3 (x − y)(t |
a |
)l |
l′ |
Ψl′ |
(x, t) . |
(7.3.52) |
a |
В гл. 10 коммутационные соотношения вида (7.3.49)−(7.3.51) будут
использованы для вывода соотношений, известных как тожде-
ства Уорда, для матричных элементов операторов, включающих ток Jμ.
418 |
Глава 7. Канонический формализм |
7.4. Лоренцевская инвариантность
Мы собираемся теперь показать, что лоренц-инвариантность плотности лагранжиана влечет за собой лоренц-инвариантность S-матрицы. Рассмотрим бесконечно малое преобразование Лоренца
Λμ ν = δμ ν + ωμ ν , |
(7.4.1) |
ωμν = −ω νμ . |
(7.4.2) |
Согласно проведенному в предыдущем разделе анализу, инвариантность действия относительно таких преобразований немедленно влечет существование набора сохраняющихся «токов» Mρμν:
∂ρMρμν = 0, |
(7.4.3) |
Mρμν = −Mρνμ , |
(7.4.4) |
по одному току на каждую независимую компоненту ωμν. Интегра-
лы от временных компонент этих «токов» дают набор не зависящих от времени тензоров:
Jμν ≡ z d3x M0μν , |
(7.4.5) |
d |
J |
μν = 0 . |
(7.4.6) |
dt
Окажется, что величины Jμν являются генераторами однородной
группы Лоренца.
Хотелось бы получить явные формулы для тензора Mρμν,
однако преобразования Лоренца действуют на координаты и поэтому не могут оставить инвариантной плотность лагранжиана*.
*Для сравнения укажем, что формулировка теоремы Нетер, приведенная
âприм. ред. на с. 409, немедленно приводит к результату. Достаточно заметить, что вариация L, отвечающая бесконечно малым преобразованиям Лоренца
δxμ = ωμ xν имеет вид полной дивергенции:
ν ,
δL = δxμ ∂ L = ωμ xν∂ L = ∂ eωμ xν L j — Ïðèì. ðåä.
μ ν μ μ ν .