ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 7035
Скачиваний: 12
7.5. Переход к представлению взаимодействия. Примеры |
429 |
следовательно, |
|
(9 − m2 )vμ = 0 . |
(7.5.26) |
Действительное векторное поле, удовлетворяющее уравнениям (7.5.25) и (7.5.26), можно представить в виде фурье−разложения
vm (x) = (2π)-3/2 å z d3p(2p0 )-1/2 nem (p, σ)a(p, σ)eip×x
s
(7.5.27)
+em* (p, σ)a†(p, σ)e-ip×x s ,
ãäå p0 = |
p2 + m2 |
, εμ(p,σ) ïðè σ = +1, 0, −1 — три независимых |
|
вектора, удовлетворяющих условию |
|||
pmeμ (p, σ) = 0 |
(7.5.28) |
||
и нормированных так, что |
|||
åeμ (p, σ)eν* (p, σ) = ημν + pμpν / m2 , |
(7.5.29) |
||
s |
|||
à a(p,σ), a†(p,σ) − операторные коэффициенты. С помощью (7.5.23), (7.5.27) и (7.5.29) можно непостредственно убедиться, что v и π
удовлетворяют правильным коммутационным соотношениям:
[vi (x, t), πj (y, t)] = iδijδ3 (x − y) ,
(7.5.30)
[vi (x, t), vj (y, t)] = [πi (x, t), πj (y, t)] = 0 ,
если операторы a(p,σ) è a†(p,σ) удовлетворяют коммутационным
соотношениям вида
[a(p, σ), a† (p′, σ′)] = δ3 (p′ − p)δs¢s , |
(7.5.31) |
[a(p, σ), a(p′, σ′)] = 0 . |
(7.5.32) |
Мы уже знаем, что векторное поле частиц спина единица должно иметь вид (7.5.27), так что представленный вывод этих результатов
430 Глава 7. Канонический формализм
служит лишь для проверки, что (7.5.18) дает правильный гамильтониан свободных массивных частиц спина единица. Легко проверить также, что (7.5.18) можно записать (с точностью до постоянного слагаемого) в стандартной форме åσ z d3p p0a† (p, s)a(p, s) энергии свободных частиц.
Наконец, пользуясь (7.5.22), можно записать выражение (7.5.19) для гамильтониана взаимодействия в представлении взаимодействия в виде
L |
μ + |
1 |
O |
||
V(t) = z d3xMJμv |
(J0 )2 P . |
(7.5.33) |
|||
2m |
2 |
||||
N |
Q |
Дополнительное неинвариантное слагаемое в (7.5.33) имеет как раз тот вид, который, как мы установили в гл. 6, необходим для сокращения неинвариантного слагаемого в пропагаторе векторного поля.
Дираковское поле, спин 1/2
Для дираковского поля частицы со спином 1/2 попробуем взять лагранжиан в виде
L = - |
(g μ ¶μ + m)Y - H ( |
, Y) , |
|||
Y |
Y |
(7.5.34) |
где Н — действительная функция `Y è Y. Такое выражение не
является действительным, однако действие удовлетворяет этому требованию, так как
Yg μ¶μ Y - (Yg μ¶μ Y)† = Yg μ¶μ Y + (¶μ Y)g μ Y = ¶μ (Yg μ Y) .
Таким образом, полевые уравнения, получаемые из требования стационарности действия относительно вариаций `Y è Y, являются
сопряженными друг к другу. Это и требуется, если мы не хотим иметь слишком большое число уравнений поля. Импульс, канони- чески сопряженный к Y, åñòü
∂L
P = & = -Yg 0 , (7.5.35)
¶Y
поэтому мы не должны рассматривать`Y как поле наравне с Y,
а считать его пропорциональным импульсу, канонически сопряженному к Y.
432 |
Глава 7. Канонический формализм |
ãäå p10 ≡ p2 + m1 2 , a(p,s) è b†(p,s) − операторные коэффициенты, а u(p,± ) è v(p,± ) — два набора из двух независимых решений
уравнений
(iγ μpμ + m)u(p, σ) = 0 , |
(7.5.43) |
||||||||||
(−iγ μpμ + m)v(p, σ) = 0 , |
(7.5.44) |
||||||||||
соответственно, нормированных так, что * |
|||||||||||
(−iγ μpμ + m) |
|||||||||||
å u(p, σ)u(p, σ) = |
, |
(7 5.45) |
|||||||||
2p |
0 |
||||||||||
σ |
|||||||||||
(iγ μpμ + m) |
|||||||||||
åv(p, σ)v(p, σ) = − |
. |
(7.5.46) |
|||||||||
2p |
0 |
||||||||||
σ |
|||||||||||
Чтобы получить желаемые антикоммутаторы |
|||||||||||
[ψα (x, t), ψβ (y, t)]+ = [ψα (x, t), πγ (y, t)]+ (γ 0 )γβ |
|||||||||||
= i(γ 0 )αβ δ3 (x − y) , |
(7.5.47) |
||||||||||
[ψα (x, t), ψβ (y, t)]+ = 0 , |
(7.5.48) |
||||||||||
следует принять антикоммутационные соотношения |
|||||||||||
[a(p, σ), a† (p′, σ′)]+ = [b(p, σ), b† (p′, σ′)]+ |
= δ3 (p′ − p)δσ′σ , |
(7.5.49) |
|||||||||
[a(p, σ), a(p′, σ′)]+ = [b(p, σ), b(p′, σ′)]+ = |
|||||||||||
[a(p, σ), b(p′, σ′)]+ = [a(p, σ), b† (p′, σ′)]+ = 0 . (7.5.50)
* Матрица igμpμ имеет собственные значения ±m, òàê ÷òî å uu è å vv должны быть пропорциональными проекционным матрицам (-igμpμ + m)/2m è (igμpμ + m)/2m, соответственно. Коэффициент пропорцональности можно подоб-
рать с точностью до знака, включив его в определение u и v. Общий знак определяется условием, что Tr å uub = å u†u è Tr å vvb = å v†v положительны.
7.6. Связи и скобки Дирака |
433 |
и им сопряженные. Эти соотношения согласуются с результатами гл. 5, что подтверждает правильность выражения (7.5.37) как гамильтониана свободных частиц спина 1/2. Записанный через операторы a и b, гамильтониан имеет вид:
H0 = å z d3p p0 ca† (p, σ)a(p, σ) − b(p, σ)b† (p, σ)h . |
(7.5.51) |
σ |
Полученное выражение отличается от общепринятого гамильтониана свободных частиц на бесконечное с-числовое слагаемое *:
3 |
0 |
ca |
† |
(p, σ)a(p, σ) + b |
† |
(p, σ)b(p, σ) − δ |
3 |
′ |
− p)h . (7.5.52) |
||
H0 = å z d |
p p |
(p |
σ
Это с-числовое слагаемое в (7.5.52) важно только тогда, когда мы учитываем гравитационные явления. В противном случае, как и для скалярного поля, можно отбросить это слагаемое, поскольку оно влияет только на выбор начала отсчета энергии. После этого Н0 оказывается положительным оператором, как и для бозонов.
7.6. Связи и скобки Дирака
Главная проблема при выводе гамильтониана из лагранжиана заключается в появлении связей. Стандартный анализ этой проблемы принадлежит Дираку 5, и мы будем следовать его терминологии. Анализ Дирака реально не требуется для обсуждаемых в этой главе простых теорий, в которых нетрудно идентифицировать свободные от связей канонические переменные. Для иллюстрации мы будем использовать теорию действительного массивного поля, вернувшись к дираковскому подходу в следующей главе, где он окажется действительно полезным.
Первичные связи либо накладываются на систему (как например, в следующей главе, когда мы выберем калибровку электро-
* Заметим, что с-числовое слагаемое в данном случае имеет отрицательный знак. Гипотетическая симметрия, известная под названием суперсимметрии 4, связывает между собой числа бозонных и фермионных полей таким образом, что все с-числовые слагаемые в Н0 взаимно сокращаются.