ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 7053
Скачиваний: 12
434 |
Глава 7. Канонический формализм |
магнитного поля), либо возникают как следствие структуры самого лагранжиана. В качестве примера такого рода рассмотрим лагранжиан (7.5.11) массивного векторного поля Vμ, взаимодействующего с током Jμ:
L = − 1 F Fμν − 1 m2V Vμ |
− J |
μ |
Vμ |
, |
(7.6.1) |
|||
4 |
μν |
2 |
μ |
|||||
ãäå |
Fμν ≡ ∂μ Vν − ∂νVμ . |
|||||||
(7.6.2 ) |
||||||||
Допустим, мы пытаемся рассматривать все четыре компоненты Vμ
как равноправные. Тогда мы должны определить канонически сопряженные им импульсы
Πμ ≡ |
∂L |
= −F0μ . |
||||
(7.6.3) |
||||||
∂(∂ |
A |
μ |
) |
|||
0 |
||||||
Отсюда немедленно получаем первичную связь вида
Π0 = 0. |
(7.6.4) |
Вообще, мы сталкиваемся с первичными связями всякий раз, когда уравнения Πl = δLδ(∂0Ψl ) не могут быть разрешены относительно ∂0Ψl, т. е. не позволяют выразить все ∂0Ψl через Πl è Ψl
(по крайней мере, локально). Такая ситуация возникает тогда и только тогда, когда матрица δ2Lδ(∂0Ψl )δ(∂0Ψm ) будет имеет
нулевой детерминант. Подобные лагранжианы называются нерегулярными.
Затем могут существовать вторичные связи, возникающие из требования, совместности первичных связей с уравнениями движения. Для массивного вкторного поля такой связью является как раз уравнение Эйлера−Лагранжа (7.5.16) для V0:
∂ |
Π |
i |
= m2V0 |
+ J0 . |
(7.6.5) |
i |
В данном случае этим все заканчивается, однако в других теориях могут встретиться новые независимые связи, возникающие из требования совместности вторичных связей с полевыми уравнения-
436 Глава 7. Канонический формализм
включая тождество Якоби
[A, [B, C]P ]P + [B, [C, A]P ]P + [C, [A, B]P ]P = 0 . |
(7.6.10) |
Если можно было бы принять обычные коммутационные соотноше-
íèÿ |
[Ψa, Π ] = δa , [Ψa, Ψb] = [Π , Π ] = 0, то коммутатор любых |
|||
b |
b |
a |
b |
|
двух функций Ψ è Π был бы просто равен [A,B] = i[A,B]P. Однако |
||||
связи не всегда позволяют это сделать. |
||||
Связи |
в общем |
случае |
можно |
выразить в виде уравнений |
χN = 0, ãäå χN − набор функций от Ψ è Π. Поскольку мы включаем в
рассмотрение все связи, как первичные, так и вторичные, множество всех связей с необходимостью совместно с уравнениями дви-
жения |
& |
|
A = [A, H]P . Поэтому, при условии, что все |
||
[χN , H]P = 0 , |
(7.6.11) |
уравнения связи χN = 0 удовлетворяются *. Некоторая связь **
называется связью первого рода, если ее скобка Пуассона со всеми остальными связями обращается в нуль на поверхности связей (после вычисления скобок Пуассона). Мы столкнемся в следующей главе с простым примером такой связи при квантовании электромагнтитного поля, где связь первого рода возникает из симметрии действия — электромагнитной калибровочной инвариантности. На самом деле, множество связей первого рода cN = 0 всегда связано с группой преобразований симметрии для произвольной величины А. Бесконечно малое преобразование из этой группы имеет вид
*В современной терминологии для последнего условия используется также,
âчастности, автором, термин «при наложении связей». Но наиболее
употребителен термин «на поверхности связей». Имеется в виду, что уравнения
связи χN = 0 определяют в фазовом пространстве (Ψa,Πa) некоторую поверхность.
Ниже будет использоваться именно этот последний термин. Кроме того, гамильтониан Н содержит дополнительные вспомогательные поля — лагранжевы
множители к связям. Уравнения (7.6.11) могут определить некоторые из них
как функции Ψa, Πa. — Ïðèì. ðåä.
** Согласно современной терминологии любая функция χN из набора, определяющего поверхность связей χN = 0, называется функцией связи, или
коротко связью. Поэтому под связью в зависимости от контекста понимается
как уравнение связи χN = 0, так и сама функция связи χN. В данном контексте
термин связь понимается во втором смысле, как функция связи. — Прим. ред.
7.6. Связи и скобки Дирака |
437 |
δNA ≡ å εN[χN, A]P . * |
(7.6.12) |
N |
(В теории поля такие преобразования локальны, поскольку индекс N включает пространственно-временную координату.) Из формулы (7.6.11) следует, что такое преобразование оставляет гамильтониан инвариантным **; инвариантной остается также поверхность связей. Теорию со связями первого рода можно рассматривать либо с помощью выбора калибровки, либо калибровочно-инвариантными методами, описанными в т. II.
Связи cN, дополнительные к связям первого рода, обладают
тем свойством, что никакая нетривиальная линейная комбинация åN uN [cN, cM ]P скобок Пуассона этих связей друг с другом не
обращается в нуль. Это означает, что матрица скобок Пуассона оставшихся связей неособенная,
Det C ¹ 0 , |
(7.6.13) |
ãäå |
|
CNM ≡ [χN, χM ]P . |
(7.6.14) |
Такие связи называются связями второго рода. Заметим, что число связей второго рода всегда должно быть четным, поскольку антисимметричная матрица нечетной размерности по необходимости имеет детерминант, равный нулю.
Как мы видели, в случае массивного действительного векторного поля связи имеют вид
χ1x = χ2x = 0 , |
(7.6.15) |
|||||||
ãäå |
= P |
c |
x = ¶iPi (x) - m2 V0 |
(x) - J0 (x) . |
||||
c x |
0 |
(x), |
2 |
(7.6.16) |
||||
1 |
Скобка Пуассона этих связей равна
* Преобразования (7.6.12) сопровождаются также определенными преобразованиями лагранжевых множителей. — Прим. ред.
** На поверхности связей. — Прим. ред.
438 Глава 7. Канонический формализм
C |
= −C |
= [χ |
1x |
, χ |
2y |
] |
P |
= m2δ3 |
(x − y) |
(7.6.17) |
1x,2y |
2y,1x |
|||||||||
и, конечно, |
C1x,1y = C2x,2y |
= 0 . |
||||||||
(7.6.18) |
||||||||||
Эта «матрица» очевидно неособенная, так что связи (7.6.15) относятся ко второму роду.
Согласно Дираку, в случае, когда все связи являются связями второго рода, коммутационные соотношения имеют вид:
[A, B] = i[A, B]D , |
(7.6.19) |
ãäå [A, B]D − обобщение скобки Пуассона, известное как скобка
Дирака:
[A, B] |
D |
≡ [A, B] |
P |
− [A, χ |
] |
P |
(C−1)NM[χ |
M |
, B] |
P |
. |
(7.6.20) |
N |
(Здесь N и M — составные индексы, включающие пространственную координату *, и принимающие в нашем примере векторного поля значения типа 1,x и 2,x.) Дирак заметил, что дираковская скобка, как и скобка Пуассона, удовлетворяет тем же алгебраиче- ским соотношениям, что и коммутаторы:
[A, B]D = −[B, A]D , |
(7.6.21) |
|
[A, BC]D = [A, B]D C + B[A, C]D , |
(7.6.22) |
|
[A,[B, C]D ]D + [B,[C, A]D ]D + [C,[A, B]D ]D = 0 , |
||
(7.6.23) |
||
и, кроме того, соотношениям |
||
[χN , B]D = 0 , |
(7.6.24) |
|
* Автор употребляет здесь термин compaund indices — составные индексы, а ниже в Приложении общий термин compact notation — компактные обозначения. В современной литературе более употребителен общий термин condensed notation — конденсированные (сжатые) обозначения. — Прим. ред.