Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

благодаря которым коммутационные соотношения становятся совместными со связями χN = 0. Кроме того, скобки Дирака не изменяются, если заменить χN любыми другими функциями χ′N, для которых уравнения χ′N = 0 è χN = 0 определяют одну и ту же

поверхность связей в фазовом пространстве. Однако все эти приятные свойства не доказывают, что коммутаторы действительно следует задавать формулой (7.6.19), куда входят скобки Дирака.

Вопрос был, если и не разрешен до конца, то прояснен с помощью мощной теоремы, доказанной Маскавой и Накаямой 6. Они показали, что для любого набора канонических переменных Ψa, Πa, подчиняющихся связям второго рода, всегда можно

с помощью некоторого канонического преобразования * построить два набора переменных Qn, Qr и соответствующих им каноничес-

ких импульсов Pn, Pr, так что уравнения связей будут иметь вид Q r = Pr = 0. Используя эти координаты для вычисления скобок Пуассона и переопределяя функции связей, так что χ1r = Q r, χ2r = Pr, получим

а для любых функций А, В

* Напомним, что каноническим мы называем преобразование от одного

вычисляются по Ψa è Πa. Отсюда следует, что скобки Пуассона любых функ-

гамильтонианом **. При каноническом преобразовании лагранжиан изменяется, но только на полную производную по времени, что не меняет величи- ны действия.

** Конечно, в новых переменных гамильтониан, являющийся скалярной функцией, имеет другой вид. — Прим. ред.

440 Глава 7. Канонический формализм

Выписанная С-матрица имеет обратную матрицу С-1 = −Ñ,

так что скобки Дирака (7.6.20) имеют вид:

[A, B]D = [A, B]P + [A, χ1r ]P [χ2r , B]P − [A, χ2r ]P [χ1r , B]P

Иными словами, дираковская скобка равна скобке Пуассона, вычисленной с помощью редуцированного набора независимых канониче- ских переменных Qn, Pn.

Если предположить, что эти независимые переменные удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям, то коммутаторы произвольных операторов А, В выражаются через скобки Дирака формулой (7.6.19) *.

Вернемся к массивному векторному полю, чтобы показать, как его можно проквантовать с помощью скобок Дирака. В этом случае легко выразить зависимые переменные V0 è Π0 через независимые переменные Vi è Πi **: имеем просто Π0 = 0, à V0 задается

формулой (7.6.5). Из (7.6.15) и (7.6.17) следует, что CNM имеет в данном случае обратную матрицу вида:

* Все еще открытым остается вопрос, можно ли принять канонические коммутационные соотношения для независимых переменных Qn, Pn, построенных с помощью канонического преобразования Маскавы−Накаямы. В ко-

нечном счете, проверкой таких коммутационных соотношений будет их совместимость с выведенными в гл. 5 коммутационными соотношениями для свободных полей, но чтобы воспользоваться этим тестом, нужно знать, чему равны Qn è Pn. В Приложении к этой главе мы описываем два больших класса теорий, в которых можно установить набор таких независимых величин Qn è Pn, что дираковские коммутационные соотношения (7.6.19) будут следовать из обычных канонических коммутационных соотношений для Qn è Pn. Мы покажем также, что в этих случаях гамильтониан, определенный через независимые переменные Q и P, может быть с тем же успехом записана и через все переменные Ψ è Π.

** Это частный случай теорий, обсуждаемых в части А Приложения к этой главе.

Поэтому предписание Дирака (7.6.19), (7.6.20) приводит к одновременным коммутаторам следующего вида:

[A, B] = i[A, B]P

+ im−2 z d3zc[A, Π0 (z)]P [∂iΠi (z) − m2V0 (z) − J0 (z), B]P − A ↔ Bh .

[Πμ (x), Πν (y)] = 0 .

Это в точности те коммутационные соотношения, которые мы получили бы, предположив, что независимые переменные удовлетворяют обычным каноническим коммутационным соотношениям

[V i (x), Πj (y)] = iδijδ3 (x − y) , [V i (x), V j (y)] = [Πi (x), Πj (y)] = 0 ,

и использовав связи для вычисления коммутаторов, содержащих

Π0 è V0.

7.7. Переопределения полей и несущественные константы взаимодействия *

В любое действие входят некоторые параметры взаимодействия, от которых не зависят наблюдаемые, например, массы или матричные элементы S-матрицы. Эти параметры называют несущественными **. Такое имя они получили потому, что изменение этих параметров можно устранить простым переопределением полевых переменных.

Непрерывное переопределение полей, например, бесконечно малое локальное преобразование Ψl(x) → Ψl(x)+ εFl(Ψ(x),∂μΨ(x),...),

очевидно не может влиять на любую наблюдаемую в теории ***,

хотя, конечно, может изменить значения матричных элементов самих полей.

Как узнать, может ли какое-то изменение параметров теории быть скомпенсировано переопределением полей? Непрерывное локальное переопределение поля приводит к изменению действия вида

Поэтому любое изменение δgi параметров взаимодействия gi, äëÿ

которого изменение действия имеет вид:

*Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения

èможет быть опущен при первом чтении.

**Автор употребляет здесь английский термин redundant, дословно —

излишний. — Прим. пер.

***Например, теорема из раздела 10.2 показывает, что до тех пор, пока мы умножаем на правильные константы перенормировки полей, элементы S-матрицы могут быть получены из среднего по вакууму от хронологически упорядоченного произведения любых операторов, имеющих неисчезающие матричные элементы между вакуумом и одночастичными состояниями уча- ствующих в реакции частиц.