Файл: Бунтова ЛЕКЦИИ ИНЖЕНЕРЫ 19.docx

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы.

Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. то система имеет единственное решение.
Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. то система неопределенная и имеет бесконечное множество решений.

3.2. Метод Гаусса решения систем m линейных уравнений с n неизвестными

Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных, заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Шаг первый. Умножая первое уравнение на подходящие числа

и прибавляя полученные уравнения соответственно ко второму, третьему, …, му уравнению системы, исключим переменнуюиз всех последующих уравнений, начиная со второго. Получим

обозначены новые коэффициенты, полученные после первого шага.

Шаг 2. Пусть Умножая второе уравнение на подходящие числа

и прибавляя полученные уравнения соответственно к третьему, четвертому, му уравнению системы, исключим переменнуюиз всех последующих уравнений, начиная с третьего.

Последующие шаги проводятся аналогично.

Процесс последовательного исключения переменных после -го шага приводит к системе

Если хотя бы одно из чисел не равно нулю, то соответствующее равенство противоречиво, и системанесовместна. Для любой совместной системы числа в системе равны нулю.

После отбрасывания «лишних» уравнений возможны два случая:

а) число уравнений системы, приведенной к ступенчатому виду равно числу переменных, т.е. ;

б) число уравнений системы, приведенной к ступенчатому виду меньше числа переменных .

Переход системы к равносильной ей системе называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение переменных из равносильной системы – обратным ходом.

Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов.

Рассмотрим пример. Решить систему уравнений методом Гаусса

Составим по данной системе расширенную матрицу

умножим первую строку на и сложим со второй строкой и с четвертой строкой; умножим первую строку наи сложим с третьей строкой, получим

поменяем местами вторую и третью строки

умножим вторую строку на 7 и сложим с четвертой строкой

умножим третью строку на 31, а четвертую на 8 и сложим эти строки

разделим последнюю строку на 2

От ступенчатого вида матрицы переходим к системе

т.е. обратным ходом Гаусса находим все переменные.

Рассмотрим пример. Решить систему методом Гаусса

Составим по данной системе расширенную матрицу

умножим первую строку на и сложим со второй строкой; умножим первую строку наи сложим с третьей строкой, получим

умножим вторую строку на и сложим с третьей строкой

В данном случае последняя строка противоречива, так как , следовательно, система несовместна.

3.3. Общее, базисное и частное решение систем линейных алгебраических уравнений.

Пусть переменныхназываются основными (или базисными), если определитель матрицы из коэффициентов при них (т.е. базисный минор) отличен от нуля. Остальныепеременных называются неосновными (или свободными). Каждому разбиению переменных на основные и неосновные соответствует одно базисное решение, а число способов разбиения не превосходит числа сочетанийто и базисных решений имеется не более

Совместная система линейных уравнений спеременнымиимеет бесконечное множество решений, среди которых базисных решений конечное число, не превосходящее

Достоинства метода Гаусса по сравнению с другими:

- менее трудоемкий метод;

- позволяет однозначно установить, совместна система или нет и в случае совместности найти ее решение;

- дает возможность найти максимальное число линейно независимых уравнений – ранг матрицы системы.

Рассмотрим пример. Найти решение системы линейных алгебраических уравнений

Составим расширенную матрицу по данной системе

поменяем местами первую и вторую строку

умножим первую строку на и сложим со второй строкой; умножим первую строку наи сложим с третьей строкой

умножим вторую строку на и сложим с третьей строкой

последняя строка вычеркивается, так как все ее элементы равны нулю

Ранг основной матрицы ранг расширенной матрицыследовательно, система совместна. Число строк в основной матрицечисло столбцов в основной матрицеследовательно, система имеет множество решений.

Выявим базисные переменные

следовательно, базисные переменные, тогда

3.4. Однородные системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных уравнений спеременными называетсясистемой линейных однородных уравнений, если все их свободные члены равны нулю.

Системы линейных однородных уравнений:

Система линейных однородных уравнений всегда совместна, так как имеет, по крайней мере, нулевое решение

Если в однородной системе а ее определитель отличен от нуля, то такая система имеет только нулевое решение.

Система линейных однородных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. при