ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 13.07.2024
Просмотров: 32468
Скачиваний: 2
СОДЕРЖАНИЕ
Министерство сельского хозяйства Российской Федерации
Фгбоу впо «Самарская государственная сельскохозяйственная академия»
2.4. Элементарные преобразования матрицы
3.1. Теорема Кронекера-Капелли
3.2. Метод Гаусса решения систем m линейных уравнений с n неизвестными
3.3. Общее, базисное и частное решение систем линейных алгебраических уравнений.
3.4. Однородные системы линейных алгебраических уравнений
4.2. Линейные операции над векторами.
4.3. Декартова система координат
4.4. Скалярное произведение векторов, основные свойства и выражение в координатной форме
4.6. Применение векторного произведения векторов к решению задач
4.8. Применение смешанного произведения векторов к решению задач
5.3. Разложение вектора по базису. Линейные пространства
6.2. Собственные значения и собственные векторы матрицы
6.3. Свойства собственных векторов матрицы
7.1. Уравнение линии на плоскости. Прямая линия и различные формы ее уравнений на плоскости
Свойства прямой в евклидовой геометрии.
7.2. Взаимное расположение двух прямых на плоскости
7.3. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
8.1. Каноническое уравнение окружности и ее основные характеристики
8.2. Каноническое уравнение эллипса и его характеристики
8.3. Каноническое уравнение гиперболы и ее характеристики
8.4. Каноническое уравнение параболы и ее характеристики
8.5. Исследование кривых второго порядка
9.2. Общее уравнение плоскости и его частные виды
9.3. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей
9.4. Нормальное уравнение плоскости
10.1. Уравнение прямой в пространстве
10.2. Условия параллельности и перпендикулярности, прямых в пространстве
10.3. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
11.1. Общая теория поверхностей второго порядка
11.2. Классификация поверхностей второго порядка
11.3. Расположение поверхностей второго порядка
12.2. Графическое изображение функции. Классификации функций
12.4. Сходимость числовых последовательностей
12.5. Предел функции. Односторонние пределы
12.6. Основные теоремы о пределах функции
13.2. Непрерывность функции в точке и на интервале
13.3. Классификация точек разрыва функции
14.1. Определение производной функции
14.2. Геометрический и механический смысл производной
14.3. Основные правила дифференцирования
14.4. Производная обратной, параметрически заданной функции
14.5. Производная показательно-степенной функции.
15.1. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши
15.4. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
15.5. Производные и дифференциалы высших порядков
16.1. Экстремум функции. Возрастание и убывание функции
16.2. Точки перегиба функции и участки выпуклости и вогнутости графика функции
16.3. Асимптоты графика функции
16.4. Общая схема исследования функции и построение ее графика
17.1. Определение функции многих переменных. Область определения функции многих переменных
17.2. Частные производные и дифференциалы первого и высших порядков
17.3. Теорема о смешанных производных
17.4. Производная по направлению
18.1. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
18.2. Необходимое и достаточное условия экстремума функции двух переменных
18.4. Метод множителей Лагранжа
19.2. Неопределенный интеграл и его свойства
19.3. Таблица основных интегралов
19.4. Интегрирование методом замены переменной
20.1. Интегрирование по частям
20.2. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен
21.1. Интегрирование элементарных дробей
21.2. Интегрирование рациональных дробей
22.1. Интегрирование методом замены переменной
22.2. Интегрирование по частям
22.3. Интегрирование с помощью универсальных подстановок
23.1. Линейные и дробно-линейные иррациональности
23.2. Квадратичные иррациональности
24.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
24.2. Определение определенного интеграла
24.3. Свойства определенного интеграла. Теорема Коши о существовании определенного интеграла
24.4. Формула Ньютона-Лейбница
25.1. Геометрические приложения определенного интеграла
25.2. Физические приложения определенного интеграла
25.3. Методы приближенного вычисления определенного интеграла
26.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
26.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций
26.3. Признак сходимости несобственных интегралов (признак сравнения)
27.1. Постановка задачи интегрирования функции многих переменных
27.2. Двойной интеграл и его свойства
27.3. Сведение двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования
28.1. Геометрический смысл двойного интеграла
28.2. Физические приложения двойного интеграла
29.1. Определение криволинейного интеграла
30.1. Комплексные числа и их изображение на плоскости
30.2. Модуль и аргумент комплексного числа
31.1. Задачи, приводящие к составлению и решению дифференциальных уравнений
32.2. Однородные дифференциальные уравнения.
33.1. Дифференциальные уравнения второго порядка,
33.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
34.1. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
35.1. Нормальная система дифференциальных уравнений
35.2. Решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
36.1. Особенности составления дифференциальных уравнений в прикладных задачах
36.2. Задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений
37.1. Определение ряда. Сходимость. Сумма ряда
37.2. Необходимый признак сходимости ряда
37.3. Достаточные признаки сходимости ряда
38.1. Достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов
38.2. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
40.1. Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора, Маклорена
40.2. Приложение рядов к приближенным вычислениям
41.3. Ряды Фурье четных и нечетных периодических функций с произвольным периодом
42.3. Операции над множествами
43.1. Общие понятия теории графов
43.2. Теорема Эйлера. Операции над графами
43.5. Сочетания. Размещения. Перестановки
44.1. Развитие теории вероятностей как науки
44.3. Классическое определение вероятности
44.5. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий. Противоположные события
44.6. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей
44.7. Теорема сложения вероятностей для совместных событий
44.8. Формула полной вероятности. Формулы Байеса
45.2. Наивероятнейшее число наступлений событий
45.3. Локальная теорема Лапласа. Интегральная теорема Лапласа
46.1. Дискретные и непрерывные случайные величины
46.4. Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал
46.5. Числовые характеристики случайной величины.
47.2. Распределение Пуассона дискретной случайной величины. Простейший поток событий
47.4. Показательный закон распределения
47.5. Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины
47.6. Вычисление вероятности заданного отклонения. Правило трех сигм
48.1. Закон больших чисел и его практическое значение
48.2. Центральная предельная теорема Ляпунова
48.3. Применение закона больших чисел и центральной предельной теоремы
49.1. Генеральная и выборочная совокупности
49.2. Статистическое распределение выборки
49.3. Эмпирическая функция распределения
50.1. Определение статистических оценок параметров распределения
50.2. Виды статистических оценок параметров распределения
50.3.Надежность статистических оценок параметров распределения.
51.3. Критерий согласия Пирсона
51.5. Критерий проверки гипотезы о равенстве дисперсий
51.6. Критерий сравнения двух выборочных средних
51.7. Критерий Вилкоксона проверки гипотезы об однородности двух выборок
52.1. Однофакторный дисперсионный анализ
52.2. Двухфакторный дисперсионный анализ
53.1. Корреляционная зависимость
53.2. Линейная парная регрессия
53.3. Оценка значимости параметров связи
54.1. Понятие о нелинейной регрессии
Так
как
Рассмотрим
пример. Найти
угол между векторами
и
если
Рассмотрим пример. Найти скалярное произведение
если
4.5. Векторное произведение векторов. Основные свойства векторного произведения векторов и выражение в координатной форме
Векторное
произведение векторов
и
называется вектор
удовлетворяющий следующим условиям:
модуль вектора
равен площади параллелограмма,
построенного на векторах
и
направление вектора
перпендикулярно плоскости параллелограмма
построенного на векторах
и
;векторы
,
и
после приведения к общему началу
ориентированы по отношению друг к другу
соответственно как орты
Свойства векторного произведения векторов.
Векторное произведение не обладает переместительным свойством
Коллинеарность ненулевых векторов
если
или
или
Сочетательное свойство
Распределительное свойство
Если
заданы векторы
в
декартовой системе координат, то их
векторное произведение находят следующим
образом
Рассмотрим
пример. Найти
векторное произведение двух векторов
4.6. Применение векторного произведения векторов к решению задач
Площадь
параллелограмма
построенного на векторах
вычисляется по формуле
Площадь
треугольника
построенного на векторах
вычисляется по формуле
Рассмотрим
пример. Вычислить
площадь треугольника с вершинами в
точках
Найдем
координаты векторов
и
,
на которых построен треугольник
Векторное
произведение векторов
и
Вычислим
площадь треугольника
4.7. Смешанное произведение векторов. Основные свойства смешанного произведения векторов и выражение в координатной форме
Смешанное произведение векторов.
Смешанным
произведением векторов
называется скалярное произведение
вектора
на вектор
т.е.
Обращение
в нуль смешанного произведения векторов
есть признак компланарности векторов
Смешанное
произведение трех векторов
по модулю равно объему параллепипеда,
построенного на этих векторах.
Свойства смешанного произведения трех векторов.
1. При круговой перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется, при перестановке двух сомножителей – меняет знак на обратный
2.
Свойство распределительности
3.
Свойство сочетательности относительно
скалярного множителя
4.
Смешанное произведение, имеющее хотя
бы два равных сомножителя, равно нулю
Пусть векторы заданы их разложениями по ортам
тогда смешанное произведение векторов
4.8. Применение смешанного произведения векторов к решению задач
Из
определения смешанного произведения
векторов вытекает то, что необходимым
и достаточным условием компланарности
трех векторов служит условие
Объем
параллепипеда,
построенного на векторах
и объем
образованный
ими треугольной пирамиды, находятся по
формулам
Рассмотрим
пример. Найти
объем треугольной пирамиды с вершинами
Запишем
координаты векторов
Найдем искомый объем пирамиды
Контрольные вопросы
Что называют вектором?
Дать определение основных характеристик вектора (координаты вектора, направляющие косинусы, длина вектора).
Перечислить линейные операции над векторами.
Назвать основные свойства скалярного произведения векторов.
Что получают в результате векторного произведения векторов?
Перечислить основные свойства векторного произведения векторов.
Дать определение и перечислить основные свойства смешанного произведения векторов.
Лекция №5. Линейные пространства
5.1. Линейное пространство.
5.2. Пространство геометрических векторов.
5.3. Координатное пространство.
5.4. Пространство матриц.
5.5. Линейная зависимость.