X. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Теоретические вопросы

1. Линейное пространство. Базис. Координаты.

2. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

3. Линейный оператор. Матрица оператора.

4. Преобразование матрицы оператора при переходе к новому базису.

5. Действия над линейными операторами.

6. Собственные векторы и собственные значения.

7. Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского.

8. Сопряженные и самосопряженные операторы. Их матрицы.

9. Ортогональное преобразование; свойства; матрица.

10. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования.

Теоретические упражнения

1. Найти какой-нибудь базис и размерность подпространства пространства , если задано уравнением .

2. Доказать, что все симметрические матрицы третьего порядка образуют линейное подпространство всех квадратных матриц третьего порядка. Найти базис и размерность этого подпространства.

3. Найти координаты многочлена в базисе

4. Линейный оператор в базисе имеет матрицу

Найти матрицу этого же оператора в базисе

5. Найти ядро и область значений оператора дифференцирования в пространстве многочленов, степени которых меньше или равны трем.

6. Пусть и — собственные векторы оператора , относя­щиеся к различным собственным значениям. Доказать, что вектор не является собственным вектором оператора .

---

7. Пусть , . Будет ли оператор самосопряженным?

8. Доказать, что если матрица оператора — симметрическая в некотором базисе, то она является симметрической в любом базисе (базисы — ортонормированные).

Расчетные задания

Задача 1. Образует ли линейное пространство заданное множество, в котором определены сумма любых двух элементов и и произведение любого элемента на любое число ?

1.1. Множество всех векторов трехмерного пространства, координаты которых – целые числа;

сумма , произведение .

1.2. Множество всех векторов, лежащих на одной оси;

сумма , произведение .

1.3. Множество всех векторов на плоскости, каждый из которых лежит на одной из осей;

сумма , произведение .

1.4. Множество всех векторов трехмерного пространства;

сумма , произведение .

1.5. Множество всех векторов, лежащих на одной оси;

сумма , произведение .

1.6. Множество всех векторов, являющихся линейными комбинациями векторов , , ;

---

сумма , произведение .

1.7. Множество всех функций , , принимающих положительные значения;

сумма , произведение .

1.8. Множество всех непрерывных функций , , заданных на ;

сумма , произведение .

1.9. Множество всех четных функций , , заданных на ;

сумма , произведение .

1.10. Множество всех нечетных функций , , заданных на ;

сумма , произведение .

1.11. Множество всех линейных функций , ;

сумма , произведение .

1.12. Множество всех многочленов третьей степени от переменной ;

сумма , произведение .

---

1.13. Множество всех многочленов степени, меньшей или равной трем от переменных , ;

сумма , произведение .

1.14. Множество всех упорядоченных наборов из чисел

, ;

сумма, произведение .

1.15. Множество всех упорядоченных наборов из чисел

, ;

сумма, произведение .

1.16. Множество всех сходящихся последовательностей , ;

сумма , произведение .

1.17. Множество всех многочленов от одной переменной степени меньшей или равной ;

сумма , произведение .

1.18. Множество всех многочленов от одной переменной степени ;

сумма , произведение .

1.19. Множество всех диагональных матриц

;

---

сумма , произведение .

1.20. Множество всех невырожденных матриц

;

сумма , произведение .

1.21. Множество всех квадратных матриц

;

сумма , произведение .

1.22. Множество всех диагональных матриц размера ;

сумма , произведение .

1.23. Множество всех квадратных матриц

;

сумма , произведение .

1.24. Множество всех симметричных матриц

;

сумма , произведение .

1.25. Множество всех целых чисел;

сумма , произведение .

1.26. Множество всех действительных чисел;

сумма , произведение .

1.27. Множество всех положительных чисел;

сумма , произведение .

1.28. Множество всех отрицательных чисел;

---

Смотрите также файлы

• мат_лаб3 литье не оформлять.doc

• ДЗ_ТКМ_КТ.doc

• Чертежи деталей.doc

• теория к мат_лаб4.doc

• мат_лаб4.doc