ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 26.07.2024
Просмотров: 43
Скачиваний: 0
X. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Теоретические вопросы
-
Линейное пространство. Базис. Координаты.
-
Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.
-
Линейный оператор. Матрица оператора.
-
Преобразование матрицы оператора при переходе к новому базису.
-
Действия над линейными операторами.
-
Собственные векторы и собственные значения.
-
Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского.
-
Сопряженные и самосопряженные операторы. Их матрицы.
-
Ортогональное преобразование; свойства; матрица.
-
Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования.
Теоретические упражнения
-
Найти какой-нибудь базис и размерность подпространства
пространства
, если
задано уравнением
.
-
Доказать, что все симметрические матрицы третьего порядка образуют линейное подпространство всех квадратных матриц третьего порядка. Найти базис и размерность этого подпространства.
-
Найти координаты многочлена
в базисе
-
Линейный оператор
в базисе
имеет матрицу
Найти матрицу
этого же оператора в базисе
5. Найти ядро и область значений оператора дифференцирования в пространстве многочленов, степени которых меньше или равны трем.
6.
Пусть
и
— собственные векторы оператора
,
относящиеся к различным собственным
значениям. Доказать, что вектор
не является собственным вектором
оператора
.
7.
Пусть
,
.
Будет ли оператор
самосопряженным?
8.
Доказать, что если матрица оператора
— симметрическая в некотором базисе,
то она является симметрической в любом
базисе (базисы — ортонормированные).
Расчетные задания
Задача
1. Образует
ли линейное пространство заданное
множество, в котором определены сумма
любых двух элементов
и
и произведение любого элемента
на любое число
?
1.1. Множество всех векторов трехмерного пространства, координаты которых – целые числа;
сумма
,
произведение
.
1.2. Множество всех векторов, лежащих на одной оси;
сумма
,
произведение
.
1.3. Множество всех векторов на плоскости, каждый из которых лежит на одной из осей;
сумма
,
произведение
.
1.4. Множество всех векторов трехмерного пространства;
сумма
,
произведение
.
1.5. Множество всех векторов, лежащих на одной оси;
сумма
,
произведение
.
1.6. Множество всех
векторов, являющихся линейными
комбинациями векторов
,
,
;
сумма
,
произведение
.
1.7. Множество всех
функций
,
,
принимающих положительные значения;
сумма
,
произведение
.
1.8. Множество всех
непрерывных функций
,
,
заданных на
;
сумма
,
произведение
.
1.9. Множество всех
четных функций
,
,
заданных на
;
сумма
,
произведение
.
1.10. Множество всех
нечетных функций
,
,
заданных на
;
сумма
,
произведение
.
1.11. Множество всех
линейных функций
,
;
сумма
,
произведение
.
1.12. Множество всех
многочленов третьей степени от переменной
;
сумма
,
произведение
.
1.13. Множество всех
многочленов степени, меньшей или равной
трем от переменных
,
;
сумма
,
произведение
.
1.14. Множество всех
упорядоченных наборов из
чисел
,
;
сумма,
произведение
.
1.15. Множество всех
упорядоченных наборов из
чисел
,
;
сумма,
произведение
.
1.16. Множество всех
сходящихся последовательностей
,
;
сумма
,
произведение
.
1.17. Множество всех
многочленов от одной переменной степени
меньшей или равной
;
сумма
,
произведение
.
1.18. Множество всех
многочленов от одной переменной степени
;
сумма
,
произведение
.
1.19. Множество всех диагональных матриц
;
сумма
,
произведение
.
1.20. Множество всех невырожденных матриц
;
сумма
,
произведение
.
1.21. Множество всех квадратных матриц
;
сумма
,
произведение
.
1.22. Множество всех
диагональных матриц
размера
;
сумма
,
произведение
.
1.23. Множество всех квадратных матриц
;
сумма
,
произведение
.
1.24. Множество всех симметричных матриц
;
сумма
,
произведение
.
1.25. Множество всех целых чисел;
сумма
,
произведение
.
1.26. Множество всех действительных чисел;
сумма
,
произведение
.
1.27. Множество всех положительных чисел;
сумма
,
произведение
.
1.28. Множество всех отрицательных чисел;