Файл: Algebra.pdf

Умножение матрицы на матрицу определяется только при условии, что число столбцов первого сомножителя A равно числу строк второго сомножи теля B. В этом случае размерность любого вектора — строки матрицы A будет совпадать с размерностью любого вектора — столбца матрицы B, и можно со ставить их скалярные произведения в любом сочетании. Под произведением

элемент cij которой равен скалярному произведению i й строки матрицы A на j й столбец матрицы B:

cij = (ai1, ai2,…,aik ), (b1j ,b2j ,…,bkj )

или

k

cij =ai1b1j + ai2b2j + +aikbkj = ∑aitbtj , i =1,2,…, m; j =1,2,…,n . t=1

Очевидно, число строк произведения совпадает с числом строк первого со множителя, а число столбцов — с числом столбцов второго сомножителя.

В пакете Microsoft Excel для вычисления произведения матриц используется функция

AB = МУМНОЖ(матрица A; матрица B),

где «матрица A» и «матрица B» — ссылки на ячейки рабочего листа, содержа щие соответствующие матрицы. Данная формула должна быть введена в ра бочий лист как ф о р м у л а м а с с и в а Microsoft Excel (конкретные поясне ния по использованию формул массива даны в примере 1.2.3).

1.2.3. Даны матрицы

Требуется вычислить вручную и с помощью пакета Microsoft Excel их произ ведение AB (если такое произведение существует).

Решение. Прежде всего убедимся, что данные матрицы можно перемножать, и найдем размер результата умножения. Запишем под матрицами их размеры:

18

В матрице A ч е т ы р е строки и три столбца, в матрице B три строки и д в а столбца. Число столбцов в матрице A равно числу строк в матрице B, поэтому мат рицу A можно умножить на матрицу B, при этом произведение AB будет иметь столько же строк, сколько в матрице A (т. е. ч е т ы р е), и столько же столбцов, сколько в матрице B (т. е. д в а). Итак,

? ?

AB = ?? ?? 4×2 .? ?

Теперь на место вопросительных знаков поставим числа — элементы произведе ния AB:

Поясним, как получен элемент произведения AB, который стоит на пересечении

правой матрице мы «двигаемся» в д о л ь п е р в о г о с т о л б ц а (он также выде лен пунктиром). Когда мы встречаем два очередных элемента a1t (из первой матри цы) и bt1 (из второй матрицы), мы их перемножаем, и все полученные произведения складываем:

(2, 0, −1), (1, 3, 5) =2 1+0 3 +(−1) 5 = −3 .

Чтобы получить элемент произведения, который стоит на пересечении п е р в о й

(2, 0, −1), (1, 3, 5) =2 2 +0 4 +(−1) 6 = −2 .

Остальные элементы рассчитываются аналогично. Итак,

Теперь поясним, как рассчитать произведение данных матриц A и B в пакете Mi crosoft Excel. Введем матрицы A и B в ячейки A2:C5 и E2:F4 рабочего листа Microsoft Excel, как показано на рис. 1.2.3, а.

Произведение AB имеет размер 4×2 , поэтому отведем под результат ячейки H2:I5 (они как раз занимают четыре строки и два столбца). В ячейку H2 введем формулу «=МУМНОЖ(A2:C5;E2:F4)», причем эту формулу необходимо ввести как

19

ф о р м у л у м а с с и в а. Для этого нужно мышью выделить диапазон H2:I5, начиная с ячейки H2, содержащей формулу, затем нажать клавишу <F2>, а затем — комбинацию клавиш <Ctrl> + <Shift> + <Enter>. Результат представ лен на рис. 1.2.3, б (в ячейках H2:I5). Результаты ручного и компьютерного вычисле ния произведения матриц совпали. Заметим, что если формула будет введена не как формула массива, то будет рассчитан только левый верхний элемент ре зультата — число (–3).

а) формула Microsoft Excel

б) результаты расчета

Рис. 1.2.3. Вычисление произведения матриц в Microsoft Excel

Нетрудно доказать, что действие умножения матрицы на матрицу обладает с в о й с т в а м и:

(AB)C = A(BC), α(AB) =(αA)B = A(αB),

(A +B)C = AC +BC, A(B +C) = AB + AC, (AB)T =BT AT , AE = EA = A.

Последнее свойство показывает, что единичная матрица E среди всех квад ратных матриц данного порядка выполняет такую же роль, как число единица среди чисел. Советуем читателю доказать, что никакая другая матрица в та кой роли выступать не может. Указанным обстоятельством мы воспользуемся позже для того, чтобы ввести понятие обратной матрицы.

Произведение матриц, вообще говоря, зависит от п о р я д к а сомно жителей: в общем случае

AB ≠ BA .

В отдельных случаях равенство AB =BA может иметь место — тогда мат рицы A и B называются перестановочными между собой.

ПРИМЕР 1.2.4. Даны матрицы

20

В примере 1.2.3 матрицы AAT и ATA имеют разные размеры, точно так же различаются размером матрицы bbT и bTb . В следующем примере размеры матриц AB и AB совпадают, однако эти матрицы A и B не являются переста новочными.

ПРИМЕР 1.2.5. Проверить, являются ли перестановочными матрицы

и AB ≠ BA .

Если A n×n — квадратная матрица n го порядка, то ее можно умножить саму на себя, и произведение A2 = AA n×n также является квадратной мат

21