Файл: Algebra.pdf

Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю. Нулевая матрица обозначается

Чтобы подчеркнуть, что нулевая матрица имеет размер m ×n , мы будем (когда это необходимо) пользоваться нижним индексом:

называется квадратной, а число ее строк (совпадающее с числом столбцов и равное n) — порядком матрицы. Элементы a11, a22,…, ann квадратной матри цы образуют ее главную диагональ. Квадратная матрица называется тре угольной, если все ее элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю:

Квадратная матрица называется единичной, если все элементы ее главной диагонали равны единице, а остальные — нулю:

14

Чтобы подчеркнуть, что единичная матрица имеет n й порядок, мы будем (когда это необходимо) пользоваться нижним индексом:

n столбцов

Если в матрице A заменить строки столбцами, сохранив их порядок, то по лучится новая матрица

называемая транспонированной по отношению к матрице A. Очевидно,

(AT )T = A .

Впакете Microsoft Excel для транспонирования матриц используется функ

ция

AT = ТРАНСП(матрица A),

где «матрица A» — ссылка на ячейки рабочего листа, содержащие данную матрицу. Эта формула должна быть введена в рабочий лист как ф о р м у л а м а с с и в а Microsoft Excel (конкретные пояснения по использованию формул массива даны в примере 1.2.1).

1.2.1. Дана матрица

Требуется вычислить вручную и с помощью пакета Microsoft Excel матрицу AT.

Решение. Найдем матрицу AT, транспонированную к матрице A. Первая строка

15

Теперь поясним, как получить тот же результат в пакете Microsoft Excel. Введем матрицу A в ячейки A2:C3 рабочего листа Microsoft Excel, как показано на рис. 1.2.1, а.

Матрица A имеет две строки и три столбца, значит, матрица AT будет иметь три строки и два столбца. Отведем под результат ячейки E2:F4 (они как раз занима ют три строки и два столбца). В ячейку E2 введем формулу «=ТРАНСП(A2:C3)», причем эту формулу необходимо ввести как ф о р м у л у м а с с и в а. Для это го нужно мышью выделить диапазон E2:F4, начиная с ячейки E2, содержащей формулу, затем нажать клавишу <F2>, а затем — комбинацию клавиш

<Ctrl> + <Shift> + <Enter>. Результат представлен на рис. 1.2.1, б (в ячейках E2:F4). Замечаем, что результаты ручного и компьютерного транспонирования мат рицы совпали. Если формулу ввести не как формулу массива, то будет рассчи тан только левый верхний элемент результата — число 1.

а) формула Microsoft Excel

б) результаты расчета

Рис. 1.2.1. Транспонирование матрицы в Microsoft Excel

Под суммой двух матриц A =(aij ) и B =(bij ) одного и того же размера пони

мают матрицу, элементы которой получаются сложением соответствующих элементов данных матриц

(aij ) +(bij ) =(aij +bij ) .

Под произведением матрицы A =(aij ) на число λ понимают матрицу, эле

менты которой получаются умножением всех элементов данной матрицы на данное число:

λ(aij ) =(λaij ) .

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают теми же свойствами, что и соответствующие операции над векторами.

ПРИМЕР 1.2.2. Даны матрицы

16

Требуется вычислить вручную и с помощью пакета Microsoft Excel их сумму A + B и произведение матрицы A на число 3.

Решение. Данные матрицы имеют одинаковый размер 2×3 , поэтому их можно складывать, при этом сумма A + B будет иметь тот же размер 2×3 . Элементы суммы получаются сложением соответствующих элементов матриц A и B:

Рассчитать сумму матриц и произведение матрицы на число в пакете Microsoft Ex cel очень просто. Введем матрицы A и B в ячейки A2:C3 и E2:G3 рабочего листа Micro soft Excel, как показано на рис. 1.2.2, а. Сумма A + B имеет размер 2×3 , поэтому отве дем под результат ячейки A6:C7 (они как раз занимают две строки и три столбца). В ячейку A6 введем формулу «=A2+E2», далее скопируем ячейку A6 в буфер обмена (меню «Правка | Копировать»), выделим диапазон A6:C7 и вставим в этот диапазон формулу из буфера обмена (меню «Правка | Вставить»). В результате в ячейках A6:C7 будет рассчитана сумма A + B (рис. 1.2.2, б). Произведение 3A рассчитывается анало гично (см. рис. 1.2.2). Компьютерные расчеты дали, конечно, те же результаты, что и ручные вычисления.

б) результаты расчета

Рис. 1.2.2. Вычисление суммы матриц и произведения матрицы на число в Microsoft Excel

17