Файл: cosmint.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 26.09.2024

Просмотров: 100

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

mOVNO SDELATX DRUGU@ ZAMENU RADIALXNOJ PEREMENNOJ

 

 

1

 

1 +

1

 

kr2=R2

 

r = fr1

; f =

 

 

=

 

:

(32)

2

 

 

 

 

=4R2

 

q 2

 

 

 

 

1 + kr 1

 

 

 

tOGDA KWADRAT \LEMENTA (31) PEREPI[ETSQ W WIDE WYRAVENIQ, PROPORCIONALXNOGO EWKLI- DOWU, KAKOWYM ON I QWLQETSQ PRI MALYH RASSTOQNIQH r r1:

 

 

 

 

 

 

 

 

dl2 = f2(dr12 + r12d!2):

 

 

 

 

 

 

 

 

(33)

pEREMENNU@ r1 TAKVE MOVNO WYRAZITX ^EREZ PARAMETR :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

tg( =2);

PRI

k = 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r1 = 2R

>

 

=2;

PRI

k = 0;

 

 

(34)

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< th( =2);

PRI

k =

 

 

1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|TA PEREMENNAQ OBRA]AETSQ W BESKONE^NOSTX W SLU^AE ZAMKNUTOGO (PRI = ) I PLOSKOGO

PROSTRANSTW

,

NO

,

NAPROTIW

,

OSTAETSQ KONE^NOJ PRI

k

= 1: 0 r1

2R.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

eSLI WWESTI OB]EE OBOZNA^ENIE DLQ TRIGONOMETRI^ESKOGO I GIPERBOLI^ESKOGO SINUSA

I IH PREDELXNOGO ZNA^ENIQ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

sin ;

PRI

 

k = 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ak( )=8

 

 

 

PRI

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

k = 0;

dak

( )=

1 k ak( )d ;

(35)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< sh ;

PRI

k = 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TO PRI k = 1; 0; 1 BUDET r = R ak

( ) I

h

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dl2

= R2

d 2 + ak2( )d!2

:

 

 

 

 

 

 

(36)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|LEMENT OB_EMA TAKVE MOVNO PREDSTAWITX W WIDE, SPRAWEDLIWOM DLQ WSEH SLU^AEW:

 

 

 

 

 

d3r = R3( )d ak2( )d2! = f3dr1r12d2!:

 

 

(37)

5. mETRIKA ^ETYREHMERNOGO PROSTRANSTWA|WREMENI. wSE RASSUVDENIQ PREDYDU]EGO PUNKTA OTNOSILISX K FIKSIROWANNOMU MOMENTU WREMENI. nO wSELENNAQ DOLVNA RASSMATRI- WATXSQ KAK PROSTRANSTWENNO-WREMENNOE MNOGOOBRAZIE, T. E. ^ETYREHMERNOE PROSTRANSTWO. |TO PROSTRANSTWO|WREMQ NE IMEET NI^EGO OB]EGO S RASSMOTRENNYMI WY[E FIKTIWNYMI (WSPOMOGATELXNYMI) ^ETYREHMERNYMI PROSTRANSTWAMI. eGO GEOMETRIQ OPREDELQETSQ, KAK I W OBY^NOJ (SPECIALXNOJ) TEORII OTNOSITELXNOSTI, WYRAVENIEM DLQ INTERWALA, KOTOROE DLQ ODNORODNOGO PROSTRANSTWA I WYBRANNOJ SISTEMY OTS^ETA IMEET WID

ds2 = c2dt2 dl2;

(38)

GDE dl2 DAETSQ ODNOJ IZ PRIWEDENNYH WY[E FORMUL. nAIBOLEE UDOBNAQ FORMA | (36) (EE ^ASTNYE WIDY | RAWENSTWA (26) I (30)).

pOSKOLXKU R ZAWISIT TOLXKO OT WREMENI, MOVNO SDELATX ZAMENU

cdt = R( )d :

(39)

11

lEGKO UBEDITXSQ, ^TO NOWAQ PEREMENNAQ SOWPADAET S ISPOLXZOWANNOJ W PREDYDU]EM PA- RAGRAFE, A

ds2 = R2( )[d 2 d 2 ak2( )d!2]:

(40)

kOORDINATA OPREDELQET HOD WREMENI I IZMENENIE RADIUSA KRIWIZNY SOGLASNO DANNYM TABL. 1, A KOORDINATA OPREDELQET RASSTOQNIE.

zAKL@^ITX, ^TO WELI^INA R QWLQETSQ RADIUSOM KRIWIZNY, PRO]E WSEGO ISHODQ IMENNO IZ KWADRATA INTERWALA W FORME (40), ^TO I DELAETSQ W KNIGE [4]. mODELX S k = 0 SOOT- WETSTWUET \WKLIDOWU PROSTRANSTWU W KAVDYJ ZADANNYJ MOMENT I NAZYWAETSQ WSELENNOJ |JN[TEJNA|DE sITTERA.

6. aLXTERNATIWNYE I BOLEE SLOVNYE MODELI. w KOSMOLOGII RASSMATRIWA@TSQ I BO-

LEE SLOVNYE MODELI, U^ITYWA@]IE DOPOLNITELXNYE \FFEKTY. oDIN IZ NIH | DAWLENIE WE]ESTWA. dO SIH POR MY S^ITALI, ^TO DAWLENIE OTSUTSTWUET. tAKOE PREDPOLOVENIE OTWE- ^AET SOWREMENNOMU SOSTOQNI@ MATERII, KOGDA IZLU^ENIE IGRAET NEZNA^ITELXNU@ ROLX, A WE]ESTWO NE OKAZYWAET DAWLENIQ. uSLOWNO TAKOE WE]ESTWO NAZYWA@T PYLX@.

oDNAKO, KAK MY UWIDIM W DALXNEJ[EM, NA BOLEE RANNIH STADIQH ISTORII wSELENNOJ IZLU^ENIE IGRALO BOLX[U@ I DAVE PREOBLADA@]U@ ROLX. tOGDA DAWLENIEM PRENEBREGATX NELXZQ I USLOWIE POSTOQNSTWA MASSY (2) PERESTAET WYPOLNQTXSQ. wMESTO NEGO PRINIMA- ETSQ PREDPOLOVENIE, ^TO RAS[IRENIE PROISHODIT ADIABATI^ESKI, I PRIWLEKAETSQ TERMO- DINAMI^ESKOE SOOTNO[ENIE MEVDU \NERGIEJ OB_EMA V I RABOTOJ EGO RAS[IRENIQ, T. E. d( c2V ) = P dV . iZ NEGO SLEDUET, ^TO

d

dV

 

dR

 

 

 

= V

= 3

 

;

(41)

+ P=c2

R

TAK KAK OB_EM PROPORCIONALEN KUBU RADIUSA KRIWIZNY. eSLI IZWESTNO SOOTNO[ENIE MEVDU PLOTNOSTX@ I DAWLENIEM P, TO URAWNENIE (41) LEGKO PROINTEGRIROWATX. pRI WYSOKIH TEMPERATURAH ^ASTICY STANOWQTSQ ULXTRARELQTIWISTSKIMI, I DLQ NIH WYPOLNQETSQ P = (1=3) c2. tAKOE VE SOOTNO[ENIE SPRAWEDLIWO I DLQ RAWNOWESNOGO IZLU^ENIQ.

iZ URAWNENIJ |JN[TEJNA S U^ETOM WLIQNIQ DAWLENIQ WYWODQTSQ NEZAWISIMYE URAWNE- NIQ:

•

 

4 G

 

 

P

 

 

 

R + 3c2 ;

 

R = 3

(42)

_

2

8 G

 

2

2

 

3

 

 

R

 

R

 

= kc :

(43)

|TI URAWNENIQ SOWMESTNY TOLXKO W TOM SLU^AE, ESLI S^ITATX WYPOLNENNYMI SOOTNO[ENIQ

(41).

pOSKOLXKU NA RANNIH STADIQH RAS[IRENIQ WE]ESTWO GORQ^EE, IMEET OSOBYJ SMYSL RAS- SMOTRETX ULXTRARELQTIWISTSKIJ PREDEL, T. E. DWIVENIE PRI P = (1=3) c2. w \TOM SLU^AE, KAK SLEDUET IZ SOOTNO[ENIQ (41), KONSTANTOJ DWIVENIQ OSTAETSQ

W = 4 R4;

(44)

A ANALOG URAWNENIQ DWIVENIQ (3), WYTEKA@]IJ IZ URAWNENIQ |JN[TEJNA (43), PRINIMAET

WID

 

 

 

•

2GW

 

 

 

 

 

R = 3R3

:

(45)

12

|TO URAWNENIE DOPUSKAET INTEGRAL, ANALOGI^NYJ WYRAVENNOMU RAWENSTWOM (4), GDE NADO SDELATX ZAMENY, KAK PRI PEREHODE OT NEGO K SOOTNO[ENI@ (21):

_ 2

 

GW

 

2

 

R

=

k

c

:

2

3R2

2

rAZRE[AQ WYWEDENNOE SOOTNO[ENIE OTNOSITELXNO PROIZWODNOJ I INTEGRIRUQ, TABL. 3 I 4, ANALOGI^NYE TABL. 1 I 2.

t A B L I C A 3. |WOL@CIQ RADIUSA KRIWIZNY S U^ETOM DAWLENIQ

k

wREMQ t

rADIUS KRIWIZNY R

_

sKOROSTX R

 

 

 

 

 

 

1

 

2Rm

(1 cos )

2Rm sin

c ctg

 

c

0

 

2Rm 2

2Rm = (4Rmct)1=2

c

 

c 2

 

 

 

 

1

 

2Rm

(ch 1)

2Rm sh

c cth

 

c

(46)

POLU^IM

t A B L I C A 4. |WOL@CIQ PLOTNOSTI I POSTOQNNOJ hABBLA S U^ETOM DAWLENIQ

k

 

 

 

 

 

H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= = c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

c

 

 

 

 

cos

 

3

 

 

c2

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2Rm sin2

 

16 G R2

 

sin4

 

cos2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

c

 

1

=

1

 

 

3

 

 

 

 

c2

 

1

 

 

 

1

 

 

 

2Rm

 

2

2t

 

 

 

16 G R2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

c

 

 

 

 

ch

 

 

3

 

 

c2

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2Rm sh2

 

 

16 G Rm2 sh4

 

 

ch2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w TABL. 3 I 4 WWEDENY OBOZNA^ENIQ, BLIZKIE K ISPOLXZOWANNYM W TABL. 1 I 2, HOTQ WELI^INA Rm (W ZAKRYTOJ MODELI \TO POLUAMPLITUDA RADIUSA KRIWIZNY) OPREDELQETSQ PO-DRUGOMU:

Rm = s

GW6E

(47)

kA^ESTWENNO PRIWEDENNYE RE[ENIQ WEDUT SEBQ TAK VE, KAK I PRI OTSUTSTWII DAWLENIQ, ODNAKO W ZAKRYTOJ MODELI PARAMETR IZMENQETSQ OT 0 DO (A NE DO 2 ). rAZLI^A@TSQ I MAS[TABY IZMENENIQ WREMENI.

mODELI wSELENNOJ MOGUT BYTX E]E BOLEE USLOVNENY DOBAWLENIEM W PRAWU@ ^ASTX URAWNENIQ DWIVENIQ TAK NAZYWAEMOGO KOSMOLOGI^ESKOGO SLAGAEMOGO. |TO SLAGAEMOE PERWO- NA^ALXNO BYLO WWEDENO a. |JN[TEJNOM DLQ TOGO, ^TOBY PRIWESTI URAWNENIQ K WIDU, DOPUS- KA@]EMU STACIONARNYE RE[ENIQ, PUTEM KOMPENSACII TORMOZQ]EGO DEJSTWIQ PRITQVENIQ. pRI \TOM W URAWNENII (42) K OTRICATELXNOMU USKORENI@ WE]ESTWA (4 =3)GR( + 3P=c2)

13

(ZAMEDLENI@) DOBAWLQLOSX USKORENIE ( c2=3)R. eSLI \TO USKORENIE ZAPISATX W TOJ VE FORME, ^TO I DLQ WE]ESTWA (4 =3)GR( + 3P =c2) > 0, TO \TO RAWNOSILXNO DOBAWLE- NI@ POSTOQNNOJ PLOTNOSTI MASSY NEKOTOROJ SUBSTANCII S OTRICATELXNYM DAWLENIEM:

= c2 =8 G;

P = c2:

(48)

w REZULXTATE URAWNENIE (42) PREOBRAZOWYWALOSX (ESLI P = 0) W

 

•

GM

c2

 

= R2

+ 3 R:

(49)

R

pARAMETR NAZYWAETSQ KOSMOLOGI^ESKOJ POSTOQNNOJ.

pOTOM, POSLE OTKRYTIQ RAS[IRENIQ wSELENNOJ I TEM SAMYM EE NESTACIONARNOSTI, a. |JN[TEJN OTKAZALSQ OT \TOGO SLAGAEMOGO, NAZWAW EGO WWEDENIE SAMOJ BOLX[OJ SWOEJ O[IBKOJ. dEJSTWITELXNO, KOMPENSACIQ DOSTIGAETSQ TOLXKO PRI OPREDELENNOM ZNA^ENII R I WOOB]E NE NUVNA. w RAZNYE PERIODY RAZWITIQ KOSMOLOGII KOSMOLOGI^ESKOE SLAGAEMOE DOBAWLQLI I OTBRASYWALI, TAK ^TO WOPROS O NEM OSTAWALSQ OTKRYTYM.

mOVNO POLU^ITX RE[ENIQ URAWNENIQ (49), NE PRIPISYWAQ OPREDELENNOGO ZNA^ENIQ PA- RAMETRU , A PYTAQSX NAJTI EGO IZ NABL@DENIJ. w POSLEDNEE WREMQ NABL@DENIQ KAK BUDTO UKAZYWA@T NA TO, ^TO \TA POSTOQNNAQ MOVET BYTX OTLI^NA OT 0. k \TOMU MY E]E WERNEMSQ. kOSMOLOGI^ESKOE SLAGAEMOE, ESLI ONO NEOBHODIMO, PRISUTSTWUET, KOGDA MATERII (WE- ]ESTWA I IZLU^ENIQ) NET SOWSEM. pO\TOMU ONO PRIPISYWAETSQ WOZDEJSTWI@ NA HOD RAS[I- RENIQ WSELENNOJ FIZI^ESKOGO WAKUUMA. iNTERESNO OTMETITX, ^TO TAKAQ MODELX BEZ MATERII

RASSMATRIWALASX. w \TOM SLU^AE = 0 I URAWNENIE (49) PRIOBRETAET PROSTU@ FORMU

•

c2

 

 

R = 3

R:

(50)

rE[ENIEM TAKOGO URAWNENIQ QWLQETSQ RASTU]AQ \KSPONENTA R = R exp(q =3 ct). w POSLED- NEE WREMQ IMENNO TAKOE RE[ENIE IGRAET BOLX[U@ ROLX W TAK NAZYWAEMOJ TEORII INFLQCII, O KOTOROJ SKAVEM NIVE. rASSMATRIWALISX MODELI, U^ITYWA@]IE SOWMESTNOE WLIQNIE DAW- LENIQ I WAKUUMA (KOSMOLOGI^ESKOGO SLAGAEMOGO), A TAKVE NEIZOTROPNYE I NEODNORODNYE MODELI. w BLIVAJ[IH PARAGRAFAH NA[I RASSUVDENIQ BUDUT OTNOSITXSQ, W OSNOWNOM, K MODELI BEZ DAWLENIQ I BEZ WAKUUMA.

7. kRITI^ESKIE WELI^INY. iMEETSQ NESKOLXKO WELI^IN, KOTORYE QWLQ@TSQ KRITI^E- SKIMI DLQ TEORII, T. E. IH ZNA^ENIQ OPREDELQ@T TIP RE[ENIQ URAWNENIJ oto I HARAKTER GEOMETRII PROSTRANSTWA W PRO[LOM I BUDU]EM.

zAKREPIM NEKOTORYJ MOMENT t. zAPI[EM ZAKON SOHRANENIQ \NERGII W MODELI BEZ DAW- LENIQ DLQ \TOGO MOMENTA:

1

 

 

 

4

 

2H

2R2

G

 

R2 = kE:

(51)

3

wYNOSQ MNOVITELX PRI PLOTNOSTI ZA SKOBKU, POLU^AEM

 

 

4

 

 

 

 

G

 

R2( c ) = kE;

(52)

3

GDE WWEDENO OBOZNA^ENIE

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3H2

 

 

 

 

c = 8 G:

(53)

14

wELI^INA c, WYRAVENIE DLQ KOTOROJ NE SODERVIT SKOROSTI SWETA, NAZYWAETSQ KRITI^ESKOJ PLOTNOSTX@. oNA OPREDELQET ZNAK (ILI RAWENSTWO NUL@) \NERGII EDINICY MASSY WE]ESTWA kE I TEM SAMYM HARAKTER DWIVENIQ EGO WO WSELENNOJ. oTNO[ENIE

=

 

(54)

c

 

 

HARAKTERIZUET OTKLONENIE SREDNEJ PLOTNOSTI OT KRITI^ESKOJ. iMENNO \TO OTNO[ENIE DLQ MODELEJ wSELENNOJ BEZ DAWLENIQ BYLO POME]ENO W POSLEDNEM STOLBCE TABL. 2.

dRUGAQ KRITI^ESKAQ WELI^INA POLU^AETSQ, ESLI W URAWNENII (4) ZAMENITX GM=R

•

 

 

 

 

 

 

NA RR:

1 _ 2

 

•

kE:

 

 

 

2R

+ RR =

 

(55)

|TO VE RAWENSTWO MOVNO ZAPISATX INA^E:

 

 

 

 

1 2 2

 

•

 

 

 

(2q 1);

RR

 

 

kE =

2H R

 

q = R_ 2

:

(56)

bEZRAZMERNAQ WELI^INA q NAZYWAETSQ PARAMETROM ZAMEDLENIQ. dLQ ZAKRYTOJ MODELI wSE- LENNOJ q > 1=2, DLQ OTKRYTOJ q < 1=2, PRI PARABOLI^ESKOM DWIVENII q = 1=2. wOOB]E GOWORQ, q, TAK VE KAK I , MENQETSQ SO WREMENEM S SOHRANENIEM SOOTWETSTWU@]EGO NERA- WENSTWA. tOLXKO DLQ PLOSKOJ MODELI (k = 0) PARAMETR ZAMEDLENIQ TOVDESTWENNO RAWEN

1=2, A = 1.

s POMO]X@ URAWNENIQ (3) I OPREDELENIJ (16) I (53) POLU^AEM SWQZX PARAMETRA USKO- RENIQ S PARAMETROM (54):

 

•

 

4 G R

2

 

4 G

 

1

 

1

 

 

q =

RR

=

 

=

=

=

:

(57)

_ 2

_ 2

 

3H

2

 

2

c

2

 

R

 

3R

 

 

 

 

 

 

 

 

wSE WELI^INY, OTNOSQ]IESQ K NASTOQ]EMU MOMENTU, SNABVAEM NOLIKOM: H0; R0; 0; 0 ;0. oTMETIM, ^TO URAWNENIE (21) MOVNO ZAPISATX TAK, ^TO W NEGO W KA^ESTWE PARAMETROW BUDUT WHODITX TOLXKO WELI^INY, SOOTWETSTWU@]IE DANNOMU MOMENTU:

_

!

2

 

 

R0

 

 

R

 

 

R0

= H02 1 0 + 0 R

:

(58)

w SLU^AE MODELEJ S DAWLENIEM I, W ^ASTNOSTI, S ULXTRARELQTIWISTSKIMI ^ASTICAMI (FOTONAMI) KRITI^ESKAQ PLOTNOSTX, KAK MOVNO POKAZATX ISHODQ IZ URAWNENIQ (43), W ZADAN- NYJ MOMENT OPREDELQETSQ TO^NO TOJ VE FORMULOJ (53). sOOTNO[ENIE VE MEVDU PARAMETROM ZAMEDLENIQ I WELI^INOJ SODERVIT SLAGAEMOE S DAWLENIEM

q =

1

+

4 G P

(59)

 

 

 

2

c2 H2

I, KONE^NO, PEREHODIT W BOLEE PROSTOE SOOTNO[ENIE (57) PRI P = 0. dLQ ULXTRARELQTI- WISTSKOGO SLU^AQ OTNO[ENIE PRIWEDENO W POSLEDNEM STOLBCE TABL. 4.

kOSMOLOGI^ESKOE SLAGAEMOE SOGLASNO URAWNENI@ (49) DOBAWLQET K LEWOJ ^ASTI SOOT- NO[ENIQ (51) c2R2=6, ^TO PRIWODIT K POQWLENI@ DWUH KRITI^ESKIH WELI^IN . oDNA

15

Смотрите также файлы