Файл: Методическое пособие по высшей математике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 37

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ìn ¢ +nP(x = 0, íî u¢n = q(x )

.

3) :

y¢ =

f (x, y ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x, y

 

 

 

 

 

f (tx, ty

=) f x, (y

, t ¹ 0

 

 

 

 

 

 

y = xu

.

 

 

 

 

 

1. :

 

 

 

 

y¢ - ytgx = 2x

1

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

y = uν , u, ν

“ x ”; y

¢

 

¢

¢

. :

 

= u n + un

 

¢

 

¢

- untgx

=

 

 

2x

;

 

 

 

 

 

u n + un

 

 

cos x

 

 

 

 

(1)

un ¢ +n (u¢ - utgx

=)

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x

“ u ” , u¢ - utgx = 0 ; .

du

- utgx = 0;

du - utgxdx = 0;

du

-

sin x

dx = 0;

 

u

 

dx

 

 

 

 

 

 

cos x

du

=

sin x

dx;

ò

du

= ò

sin xdx

+ c;

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

u cos x

 

 

cos x

 

 

 

 

“ u ” , c = 0 ; ,

ò

du

=

ò

sin x

dx

Þ ln u = -ln cos x; ln u = ln

1

;

u =

1

;

 

 

cos x

cos x

 

 

u

 

 

 

cos x

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

u =

 

(1),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2x

 

 

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

n

¢

=

;

n

¢

=

¢

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x

 

cos x

 

2x; òn dx = ò2xdx + c ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n = x 2

+ c ; ,

 

 

 

 

 

 

y = u *n ;

y =

 

(x 2 + c

 

- .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x

.

 

¢

¢¢

=)0;

 

 

¢

¢¢

= 0

 

 

4) F (x, y , y

 

 

F y, y ,( y

 

 

 

 

 

 

¢

¢¢

= 0 .

 

 

 

 

) F (x, y , y

 

 

 

 

 

 

 

y¢ = P(x ); y¢¢ = P¢.

F (x, P, P¢ = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¢

 

¢¢

= 0 .

 

 

 

 

) F (y, y , y

 

 

 

 

 

 

 

 

y¢ = P(x );

 

y¢¢ = P

dp

.

 

 

 

dy

æ

dp

ö

 

Fç y, P, P

÷

= 0 .

 

ç

dy

÷

 

è

ø

 

2. (x 2

+1 y′′ = 2xy′ . ,

: y(0 )= 1;

y¢ 0 = 3.

:

“ y ”.

y¢ = P ;

y′′ =

dp

(x 2 + 1

dp

= 2xP .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

dx

P

 

x . .

 

 

 

 

 

 

 

dp

=

2xdx

;

dp

=

2x

dx + ln c ;

ln P = ln(x 2 + 1 + ln c .

 

 

 

 

 

 

 

P x 2 + 1 ò

P ò x 2 + 1

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P = c1 (x 2 +1 y¢ = c1 (x 2 +1 .

, c1 = 3 . , y¢ = 3(x 2 +1 .

.

y¢ = 3(x 2 + 1 - .

dy = 3(x 2 + 1 ; dy) = 3 x 2 + 1 dx(; òdy = ò)3 x 2 + 1 dx + c2 ; y = 3(ò x2 + 1 dx + c2 ; y = x3 + 3x + c2 dx

c2 :

c2 = 1; , y = x3 + 3x +1 - ,

.

5) .

: y¢¢ + Py¢ + qy = 0 ,

p, q - .

: k 2 + pk + q = 0

) k1 ¹ k2 - ,

y = c1e k1x + c2e k2 x (c1 , c2 = const - .

) k1 = k2 - ,

y = ek1x (c1 x + c2

.

) k1 = a + b i; k2 = a - b i -

,

y = eαx (c1 cos bx + c2 sin bx)

.

3. y¢¢ - 2 y¢ - 3y = 0 .

:

: k 2 - 2k - 3 = 0

k1 = -1; k2 = 3 - .

, y = c1e − x + c2 e3x

.

6) .

:

y¢¢ + Py¢ + qy = f (x ,

(1)

P, q - , f (x

-

.

(1) :

y = y . + y .

y - (1), y . -

 

 

y¢¢ + Py¢ + qy = 0 ,

 

y . -

–

 

 

(1).

 

 

 

 

 

 

 

 

) f (x )= P x(eαx , P (x

= a

n

x n + a

n−1

x n−1 + ... + a

0

- n .

 

 

n

n

 

 

 

 

,

y .

= Qn (x eαx x r ,

Qn (x -

“ n ”

, , r -

k 2 + pk + q = 0 , “α ”,

r= 0; 1; 2;...

) f (x )= eαx a0 cos βx + b0 sin βx). , y . = eαx (a cos βx + b sin βx x r ,

a, b - . r -

k 2 + pk + q = 0 , a + b i . a, b -

.

4. y¢¢ - 2 y¢ + 5 y = 6x + 7 .

:

:

y = y . + y .

y . - . y¢¢ - 2 y¢ + 5 y = 0 .

. k 2 - 2k + 5 = 0

k1 = 1 + 2i ; k2 = 1 - 2i - .

,

y . = e x (c1 cos 2x + c2 sin 2x) .

y . - . .

f (x )= 6x + 7 = eox 6x +(7 .

 

 

a = 0; a ¹ k1 ; a = k2 . , y . = ax + b .

a, b

.

 

 

 

 

y

.

= ax + b; y′

= a;

y′′

= 0 .

(1)

 

.

 

.

 

 

(1) ,

 

− 2a + 5ax + 5b = 6x + 7 .

 

 

(2)

(2),

:

5a = 6; a = 6 ; − 2a + 5b = 7; b = 47 .

 

5

25

,

y .

=

6

x +

47

.

 

 

 

5

 

25

 

y = e x (c cos 2x + c

2

sin 2x) +

6

x +

47

.

 

 

1

5

25

 

 

 

 

II. .

( ,

, , , ,

).

. ,

.

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

n

 

5. å

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

2n + 1

 

 

 

 

 

 

 

n

 

:

 

an =

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

1

 

2n +1

 

 

lim an

= lim

=

¹ 0 .

,

,

 

 

 

n→∞

n→∞ 2n +1

2

 

 

 

 

 

 

.

 

 

∞ n

6. å .

n=1 3n

:

.

an

=

n

. ,

an+1

=

n +1

.

 

n

n 1

:

 

3

 

 

 

 

 

 

3

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

an+1

= lim

(n + 1 * 3n

=

1

lim

n + 1

=

1

< 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n→∞ an

n→∞ 3n+1 * n

 

3 n→∞

n

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

 

1

 

 

 

 

 

 

 

7. å

 

 

 

 

 

 

.

 

(n + 1 ln)

2

n +(

1

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

:

.

 

 

1

 

 

 

 

 

“ n ”

“ x ”.

 

(n + 1 ln) 2

n +(

1

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x )=

 

1

 

. :

 

 

 

 

 

 

(x + 1 ln)

2 x +(

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞

dx

 

 

 

 

 

t

 

dx

 

 

 

 

1

 

t

æ

1

 

1

ö

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ò

 

 

 

 

= lim

ò

 

 

 

= - lim

 

 

= - lim ç

-

÷

=

.

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

(x +1 ln)

x

+( 1

 

t →+∞

(x +1 ln)

x +(

1 )

t →+∞

ln(x +1

1)

t →+∞ç

 

)

ln 2

÷

 

ln 2

1

 

 

)

1

 

 

è ln(t +1

ø

 

.

,

, .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы