Файл: Методическое пособие по высшей математике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 20

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

∞

1

 

8. å

.

 

n=2

ln n

:

.

∞

1

 

1

 

1

 

 

 

å

;

>

, n = 2,.... . ,

 

ln n

n

n=2

n

 

 

 

 

, .

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

(− 1 n−1

9. å

 

. ( ,

 

 

 

 

 

 

 

n=1

2n − 1

, ).

:

1)

1 >

1

>

1

> ... >

1

 

> ... .

 

 

 

 

3

5

 

 

2n − 1

 

 

2)

lim

 

1

= 0 .

 

 

 

 

n→∞ 2n − 1

, .

∞

1

 

 

å

 

, .

2n − 1

n=1

 

. f (x )= 1 . 2x − 1

+∞

dx

 

 

t

dx

 

 

1

lim ln(2x − 1

t )=

1

lim ln(2t − 1 =) +∞ .

ò

= lim

ò

=

2x − 1

2x − 1

 

 

1

t →+∞

1

 

2 t →+∞

1 2 t →+∞

,

. , ( ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

x n

 

 

10. å

 

 

.

(n + 1 *)7

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

un =

 

 

 

 

 

 

 

x n

=

x n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

; un+1

 

.

 

 

 

(n + 1 *)7 n

(n + 2 7)n+1

 

 

 

:

 

un+1

 

 

= lim

 

 

x n+1 * 7 n (n + 1

 

 

 

=

 

 

 

x

 

 

 

 

lim

n + 1

=

 

 

x

 

 

.

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

un

x n * 7n+1 (n + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

n→+∞

 

 

n→∞

 

 

 

) 7 n→∞ n + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

1

 

x

 

< 1, − 7 < x < 7

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

,

x = −7; x = 7 .

1) x = −7

∞

(− 7 n

 

∞

(− 1 n

å

 

 

= å

 

.

(n + 1 *)7

n

 

n=1

 

n=1

n + 1

.

 

)

1

>

1

> ... >

1

 

> ...

 

 

n + 1

 

2

3

 

 

 

) lim

1

= 0 .

 

 

n→∞ n +1

, , x = -7

.

2) x = 7 :

∞

7

n

 

∞

1

 

1

 

1

 

1

 

 

å

 

 

= å

=

+

+ ... +

 

+ ...

(n + 1 *)7

n

 

 

 

n + 1

n=1

 

n=1

n + 1 2

3

 

 

, (

). , x = 7

.

- 7 £ x < 7 .

.

0.5

11. 0,001 ò x 2 e− x2 dx

0

.

:

e− x

e x = 1 +

1

 

x +

1

 

x 2

+ ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1!

 

 

2!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x − x 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e− x2

= 1 -

1

x 2 +

1

x 4 - ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1!

2!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 e− x2

= x 2

-

1

x 4

+

1

x 6 -...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1!

 

 

 

 

2!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.5

2

 

− x

2

 

 

 

 

0.5

 

 

 

2

 

1

 

 

4

 

1

 

 

6

ö

æ

 

3

 

x

5

 

 

x

7

ö

 

0,5

1

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

 

 

 

 

 

ç x

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

ò x

 

e

 

dx = òç x

 

-

 

 

 

x

 

+

 

 

x

 

- ...÷dx = ç

 

 

-

 

 

 

+

 

 

-...÷

 

=

 

-

 

 

+

 

 

- ...

 

 

 

1!

 

 

2!

 

3

5

 

2!7

24

160

1792

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0 è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

è

 

 

 

ø

 

0

 

 

 

.

, .

0,001,

. ,

0.5

1

 

 

1

 

ò x 2 e− x2 dx »

-

 

= 0,048 .

24

160

0

 

 

 

 

 

 

 

6.

: 1)

;

); 2)

, ; 3)

( ,

); 4)

,

,

; 5) ; 6)

.

.

1. .

0,7; 0,8; 0,9.

, : ) ; )

; ) .

:

: A1 - .

A1 - .

A2 - .

A2 - .

A3 - .

A3 - .

P(A1 )= 0,7; P A2 (= 0,)8; P A3 = 0,9 .

A, A P(A + P(A = 1 .

, P(A1 )= 1 − 0,7 = 0,3; P(A2 ) = 1 − 0,8 = 0,2; P(A3 ) = 1 − 0,9 = 0,1.

) B - .

:

A1 A2 A3 - , .

A1 A2 A3 - , .

A1 A2 A3 - , .

,

B = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3

– –

P(B )= P A(1 P(A2 )P(A3 )+ P(A1 )P(A2 P(A3 )+ P(A1 )P(A2 )P(A3 =

=0,7 * 0,2 * 0,1 + 0,3 * 0,8 * 0,1 + 0,3 * 0,2 * 0,9 = 0,092 .

) C - .

C = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 .

,

P(C )= P A(1 P )A2 (P(A3 )+ P(A1 P(A2 )P(A3 + P(A1 )P(A2 P) A(3 =

=0,7 * 0,8 * 0,1 + 0,7 * 0,2 * 0,9 + 0,3 * 0,8 * 0,9 = 0,398 .

) D - .

D - . ,

D = A1 A2 A3 . P(D = P(A1 )P(A2 )P(A3 ) = 0,3 * 0,2 * 0,1 = 0,006 .

,

P(D = 1 − P(D = 1 − 0,006 = 0,994 .

2. . :

( ).

:

. ,

" n" ,

P , " k" ( , ),

Pn (k ) = Cn k p k q n−1 ,

n!

Cn k = k!(n − k ! ;) q = 1 − p .

, p = 1 ,

2

, q = 1 . 2

,

, .

, :

2

 

2

 

2

 

4!

æ

1 ö

2 æ

1 ö

2

3

 

P4 (2 )= C4

p

 

q

 

=

 

* ç

 

÷

* ç

 

÷

=

 

.

 

 

2!*2!

2

2

8

 

 

 

 

 

 

è

ø

è

ø

 

 

, :

3

 

3

 

3

 

6!

æ

1 ö

3 æ

1 ö

3

5

 

P6 (3 )= C6

p

 

q

 

=

 

* ç

 

÷

* ç

 

÷

=

 

 

;

 

 

3!*3!

2

2

16

 

 

 

 

 

 

è

ø

è

ø

 

 

, P4 (2 )> P6 3(.

3. ,

.

. 60% ,

– 84%. . : ) ,

? ) .

, ?

:

.

A

( ) H1 , H 2 ,..., H n , .

P(A )= P H(

Pæ)A

ö

+ P(H

2

P)

æ A

 

ö

+ ... + P(H

n

P)

æ

A

ö

,

 

1

ç

÷

 

 

 

ç

H

÷

 

 

ç

 

÷

 

 

 

è

H1 ø

 

 

 

 

è

2 ø

 

 

 

è

 

H n ø

 

P(H1 )+ P H(2

+ ...) + P H n

= 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

A

 

ö

-

A

Pç

 

÷

è

 

H i ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H i

(i = 1, 2, ...n . .

 

 

 

 

 

 

 

 

P(H i

 

æ

A

ö

 

 

 

 

æ H

 

ö

 

 

P) ç

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

H i ø

 

 

 

 

Pç

 

i

÷

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- .

 

 

 

 

P(A )

 

 

 

 

è

 

 

A ø

 

 

 

 

 

 

 

A - ;

.

P(A = ? ( ):

 

H1 - .

 

H 2 - .

 

, , :

 

P(H1

)=

2

; P(H

2

)=

1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

P(H1

)+ P H(2

= )

+

 

 

 

= 1 . , H1 , H 2 - .

3

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

æ

A

 

ö

= 0,6

-

 

,

,

 

Pç

 

÷

 

è

 

H1 ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

æ

A

 

ö

= 0,84

-

,

,

 

Pç

 

÷

è

 

H 2 ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

(n = 2 .

 

 

æ

ö

 

 

 

æ

 

 

ö

 

2

 

1

 

 

P(A )= P H(

1

P )A

÷

+ P(H

2

P)

ç

A

 

÷

=

 

* 0,6 +

 

* 0,84

= 0,68 .

 

 

 

 

ç

 

 

 

H

 

3

 

3

 

 

 

 

è

H1 ø

 

 

 

è

 

2 ø

 

 

 

 

, ,

.

 

 

 

 

 

 

P(H1 P)

æ

A

ö

 

2

* 0,6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

÷

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

æ H i

 

ö

 

 

 

 

è

 

H1 ø

 

 

 

 

 

 

 

 

Pç

A

÷

=

 

P(A )

 

 

=

0,68

 

=

17

.

 

 

 

è

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

X Y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

4

 

X

 

-5

 

 

2

3

 

4

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

 

P

 

0,4

 

0,3

0,1

 

0,2

 

 

 

 

 

P

0,2

 

0,8

 

Z = 2 X - 7Y

M (Z D(Z .

:

M (Z )= M 2 X( - 7Y = 2M) X - 7M( Y)

D(Z )= D 2(X - 7Y = 4D) X + 49( D )Y .

,

X Y .

:

M (X = -5 * 0,4 + 2 * 0,3 + 3 * 0,1 + 4 * 0,2 = -0,3 . M (Y = 1* 0,2 + 4 * 0,8 = 3,4 .

,

M (Z )= 2M X ( - 7)M Y = (2 *)- 0,3 - 7 * 3,4 = -24,4 .

Смотрите также файлы