Файл: LAB-VM.doc

В ячейку F2 внесена минимальная варианта, то есть скопировано первое значение вариационного ряда из ячейки D2, в ячейку F3 внесена максимальная варианта, то есть скопировано последнее значение вариационного ряда из ячейки D167, в ячейке F4 вычислена длина частичных интервалов h по формуле (6): “=(F3-F2)/10”, в ячейку F5 введен объем выборки n, в ячейки F6-F8 скопированы вычисленные ранее выборочные характеристики из ячеек В168-В170. В столбец G2-G12 введены порядковые номера опорных точек, которые разбивают весь диапазон реализованных значений выборки на частичные интервалы. Очевидно, что число этих точек равно N + 1 = 11. В столбец Н2-Н12 введены значения этих точек x_j по формуле (5). Для этого в ячейку Н2 введена формула: “=$F$2+$F$4*(G2-1)” и распространена на область Н2-Н12. Знак “$” указывает на абсолютную ссылку, которая не меняется при использовании автозаполнения области. В столбец I2-I11 введены значения средних точек y_j частичных интервалов по формуле (4). Для этого в ячейку I2 введена формула: “(H3+H2)/2” и распространена на область I2-I12. Средних точек y_j для рассматриваемой гистограммы должно быть N = 10. В столбец J2-J12 вводятся номера вариант m_j вариационного ряда, удовлетворяющие условию x_i < x_j . В столбец К2-К11 введены частоты n_j частичных интервалов, вычисляемые по формуле: n_j = m_j+1 - m_j . Для этого в ячейку К2 введена формула: “=(J3-J2)” и распространена на область К2-К11.

Гистограмма строится по данным столбца К2-К11 с использованием “Мастера диаграмм”. Для этого надо выделить область К2-К11, нажать на пиктограмму “Мастера диаграмм” на панели инструментов и выбрать в раскрывшемся меню Тип - Гистограмма - Обычная гистограмма. Для данных, представленных в таблице 2 гистограмма имеет, представленный на рис. 1. По форме гистограммы можно сделать предположение, что исследуемая случайная величина имеет равномерный закон распределения.

Выдвинутую гипотезу необходимо проверить с помощью критерия согласия Пирсона. Проверка гипотезы осуществляется в таблице, в которую включаются данные таблицы 2. Часть листа Расчет, в котором проводятся соответствующие вычисления представлена в таблице 3.

---

Рис. 1.

Таблица 3.

	E	F	G	H	I	J	K	L	M
1			№	Xi	Y j	m j	n j	nt	(n-nt)^2/nt
2	Х min =	4.577	1	4.577	4.921	0	19	16.6	0.346
3	X max =	11.461	2	5.266	5.610	19	17	16.6	0.009
4	h =	0.688	3	5.954	6.298	36	13	16.6	0.780
5	n =	166	4	6.642	6.986	49	11	16.6	1.889
6	M(x) =	8.085	5	7.331	7.675	60	15	16.6	0.154
7	D(x) =	4.170	6	8.019	8.363	75	21	16.6	1.166
8	s(x) =	2.048	7	8.707	9.052	96	17	16.6	0.009
9			8	9.396	9.7403	113	18	16.6	0.118
10			9	10.084	10.428	131	21	16.6	1.166
11			10	10.772	11.117	152	14	16.6	0.407
12			11	11.461		166		хи набл	6.048
13								хи крит	14.067

---

Столбцы Е-К таблицы 3 полностью совпадают с соответствующими столбцами таблицы 2. В области L2-L11 вычислены теоретические вероятности равномерного распределения по формуле (7). Для этого в ячейку L2 внесена формула: “=$F$4*$F$5/($F$3-$F$2)” и распространена на область L2-L11. В области М2-М11 вычисляются относительные квадраты отклонений теоретических и эмпирических частот для дальнейшего вычисления наблюдаемого значения критерия .Для этого в ячейкуМ2 вносится формула: “=(K2-L2)^2/L2” и распространяется на область М2-М11. Наблюдаемое значение критерия вычисляется в ячейкеM12 по формуле (12): “=СУММ(M2:M11)”. В ячейке M13 вычисляется критическое значение критерия по уровню значимости = 0,05 и числу степеней свободы для равномерного закона распределения k = N - m_p - 1 = 7 с помощью встроенной функции:

“=ХИ2ОБР(0.05; 7)“.

Данные таблицы 3 показывают, что . Таким образом, выдвинутая гипотеза о равномерном законе распределения исследуемой случайной величины не отвергается.

Для математического ожидания генеральной совокупности необходимо найти доверительный интервал с надежностью = 0,95 по формуле (14). Квантиль распределения Стьюдента t_вычисляется с помощью встроенной функции:

СТЬЮДРАСПОБР(1-; n).

Часть листа Расчет, в которой реализовано вычисление доверительного интервала для генерального среднего, представлена в таблице 4.

Таблица 4.

	F	G	H	I	J
14	Доверительный интервал для мат. ожидания
15	нижняя граница
16	7.772
17	верхняя граница
18	8.399

---

В ячейку F16 внесена формула:

“=$F$6-СТЬЮДРАСПОБР(0.05;$F$5)*$F$8/КОРЕНЬ($F$5)”,

а в ячейку F18 - формула:

“=$F$6+СТЬЮДРАСПОБР(0.05;$F$5)*$F$8/КОРЕНЬ($F$5)”.

Правильность проведенных расчетов проверяется сравнением функции распределения, рассчитанной на основе выбранного закона распределения по определенным выборочным характеристикам, с эмпирической функцией распределения, рассчитанной на основе действительного закона распределения в результате обработки выборки большого объема. Эта обработка производится автоматически в процессе генерации выборки с помощью программы, написанной на VBA. Перед запуском процедуры обработки необходимо заполнить таблицу “Эмпирическая функция распределения” на листе Исходный. В эту таблицу необходимо внести аргументы эмпирической функции распределения х, которые являются решением уравнения F^*(x) = p, где р - заданное значение. Для равномерного закона функция распределения имеет вид:

,

где [a; b] - отрезок распределения равномерной случайной величины.

Так как в результате обработки выборки принимается, что x_min  a, x_max  b, то:

.

По результатам обработки выборки получено, что x_min = 4,578 и x_max = 11,461 , поэтому в ячейку Е12 листа Исходный вводится формула: “=4.578+E11*(11.461-4.578)” и распространяется на область Е12-М12. В ячейку F12 вводится объем выборки для моделирования, равный n = 1000. После этого нажимается управляющая кнопка “Моделирование” листа Исходный и в таблице “Результаты моделирования” выводятся значения эмпирической функции распределения по данным генерируемой выборки. Вид листа Исходный после отработки программы представлен в таблице 5.

Таблица 5.

Эмпирическая функция распределения
F(x)	0.1		0.2		0.3			0.4	0.5			0.6	0.7	0.8	0.9
x	5.266		5.954		6.642			7.331	8.019			8.707	9.396	10.084	10.772
Объем выборки			1000
Результаты моделирования
F(x)	0.093	0.194		0.296				0.398	0.507			0.614	0.705	0.813	0.899
Номер текущей варианты							1000

---

Сравнение двух эмпирических функций распределение позволяет говорить об их удовлетворительном совпадении.

Выше был приведен порядок расчета лабораторной работы для случая, когда обрабатывалась выборка из равномерной генеральной совокупности. Рассмотрим изменения для случая, когда исследуемый признак распределен по нормальному закону.

Расчет выборочных характеристик (таблица 1) и построение гистограммы (таблица 2) в этом случае производятся так же, как и для равномерного закона распределения. Пусть гистограмма имеет следующий вид (рис. 2).

Рис. 2.

По форме гистограммы можно сделать предположение, что исследуемая случайная величина имеет нормальный закон распределения. Выдвинутая гипотеза проверяется с помощью критерия Пирсона. Результаты расчетов представлены в таблице 6.

Таблица 6.

	E	F	G	H	I	J	K	L	M
1			№	Xi	Y j	m j	n j	nt	(n-nt)^2/nt
2	Х min =	-2.142	1	-2.142	-1.368	0	4	2.683	0.647
3	X max =	13.329	2	-0.595	0.179	4	6	8.187	0.584
4	h =	1.547	3	0.952	1.726	10	25	18.467	2.312
5	n =	174	4	2.499	3.273	35	26	30.791	0.746
6	M(x) =	5.117	5	4.047	4.820	61	38	37.950	0.000
7	D(x) =	7.875	6	5.594	6.367	99	34	34.573	0.010
8	s(x) =	2.814	7	7.141	7.914	133	25	23.282	0.127
9			8	8.688	9.461	158	10	11.589	0.218
10			9	10.235	11.008	168	3	4.264	0.375
11			10	11.782	12.556	171	3	1.160	2.920
12			11	13.329		174		хи набл	7.937
13								хи крит	14.067

---