Файл: LAB-VM.doc

6) Правило проверки гипотезы: если - то выдвинутая гипотеза о типе закона распределения не отвергается, если- то отвергается.

---

5. Интервальное оценивание параметров распределения

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр. Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью  покрывает заданный параметр.

1. Интервальной оценкой генерального среднего х_г (математического ожидания а = М(Х)) нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении (Х) генеральной совокупности служит доверительный интервал:

, (13)

где - точность оценки,n - объем выборки, t - значение аргумента функции Лапласа Ф(t), при котором Ф(t) = /2. При неизвестном среднем квадратическом отклонении  (и объеме выборки n < 30) интервальной оценкой (с надежностью ) математического ожидания а = М(Х) служит доверительный интервал:

, (14)

где s - исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, величина t_ - квантиль распределения Стьюдента, соответствующий заданным значениям n и .

2. Интервальной оценкой (с надежностью ) среднего квадратического отклонения  нормально распределенного количественного признака Х по исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению s служит доверительный интервал

, при q < 1, (15)

, при q > 1,

где q находят по распределению “хи” по заданным значениям n и 

3. Интервальной оценкой (с надежностью  неизвестной вероятности p биномиального распределения по относительной частоте  служит доверительный интервал p₁ < p < p₂ , где

(16)

---

где n - общее число испытаний; m - число появления события;  -относительная частота, равная отношению m / n; t — значение аргумента функции Лапласа, при котором Ф(t) = /2 ( — заданная надежность).

При больших значениях n (порядка сотен) можно принять в качестве границ доверительного интервала:

(17)

4. Для равномерного и показательного законов распределения доверительный интервал для математического ожидания будем строить так же, как и для нормального. Доверительный интервал для параметра  показательного распределения определяется по формуле:

, (18)

где х_л , х_п - границы доверительного интервала для математического ожидания.

6. Порядок выполнения лабораторной работы

Файл с лабораторной работой “Выборочный метод ...” представляет из себя рабочую книгу табличного процессора Excel и содержит 2 листа Исходный и Расчет. На листе Исходный расположены 2 управляющие кнопки “Ввод варианта” и “Моделирование”. Лист Исходный защищен от несанкционированного ввода информации, то есть открытыми для ввода значений остаются только несколько ячеек, о назначении которых будет сказано ниже.

Для ввода выборки значений случайной величины необходимо ввести номер варианта в отведенную для этой цели ячейку. Номер варианта n_вар обязан удовлетворять условию: 1  n_вар  200. После этого при нажатии кнопки “Ввод варианта” с помощью специально написанной программы на VBA генерируется выборка значений случайной величины, причем объем выборки n также определяется случайным образом с помощью датчика случайных чисел в диапазоне: 100  n  200. Выборка выводится в виде вектор-столбца, в котором для удобства работы пронумерованы его компоненты. Одновременно лист Расчет очищается от имеющейся на нем предыдущей информации.

Для обработки выборки ее необходимо перенести на лист Расчет. Для вычисления точечных оценок параметров распределения и построения гистограммы вводится два дополнительных столбца, в первом определяются квадраты вариант выборки, а во втором выборка записывается в возрастающем порядке, то есть в виде вариационного ряда. Ниже столбцов, содержащих выборку, производится вычисление точечных оценок параметров распределения. Вид листа Расчет, содержащий эти данные имеет следующий вид:

---

Таблица 1.

	A	B	C	D
1	№	Xi	X^2	X1
2	1	5.405	29.209	4.578
3	2	10.062	101.251	4.585
4	3	8.194	67.145	4.596
5	4	6.495	42.179	4.608
6	5	8.824	77.864	4.632
7	6	7.978	63.659	4.675
8	7	8.447	71.363	4.758
9	8	9.144	83.607	4.820
165	164	10.701	114.508	11.439
166	165	5.528	30.566	11.457
167	166	10.680	114.053	11.461
168	M =	8.086	69.553
169	D =	4.170
170	s =	2.048

---

В столбцы А и В перенесена выборка из листа Исходный объемом n = 166. В столбце С расположены квадраты вариант выборки. Для этого в ячейку С2 введена формула “=B2*B2” и распространена на область С2-С167. В область D2-D167 скопирована выборка из области В2-В167 и отсортирована в порядке возрастания с помощью кнопки панели инструментов. Если этой кнопки нет на панели инструментов, то она может быть размещена на ней с помощью команды Сервис-Настройка-Панели инструментов-Категория-Таблица. В раскрывшемся окне расположен перечень кнопок, необходимая кнопка с помощью мыши перетаскивается на любую панель инструментов. В этом же перечне кнопок находится кнопка “Автосуммирование”, которая может быть использована при вычислении выборочных характеристик.

В ячейке В168 вычисляется выборочное среднее по формуле (1): “=СУММ(В2:В167)/166”. Функция СУММ(В2:В167) может быть введена по кнопке “Автосуммирование”. В ячейке С168 вычисляется средний квадрат выборки по формуле “=СУММ(С2:С167)/166”. В ячейке В169 вычисляется выборочная дисперсия по формуле (2): “=С168-В168*В168”. В ячейке В170 вычисляется исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение по формуле (3): “=КОРЕНЬ(166/165*В169).

При построении диаграммы в лабораторной работе принимаем число частичных интервалов равным N = 10. Для построения гистограммы рассчитаем на листе Расчет таблицу следующего вида.

Таблица 2.

	E	F	G	H	I	J	K
1			№	Xi	Y j	m j	n j
2	Х min =	4.577	1	4.577	4.921	0	19
3	X max =	11.461	2	5.266	5.610	19	17
4	h =	0.688	3	5.954	6.298	36	13
5	n =	166	4	6.642	6.986	49	11
6	M(x) =	8.085	5	7.331	7.675	60	15
7	D(x) =	4.170	6	8.019	8.363	75	21
8	s(x) =	2.048	7	8.707	9.052	96	17
9			8	9.396	9.740	113	18
10			9	10.084	10.428	131	21
11			10	10.772	11.117	152	14
12			11	11.461		166

---