Файл: LAB-VM.doc

13

Министерство общего и профессионального

ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

______________________________

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

«УТВЕРЖДЕНО» Учебно-методическим Советом КИ МГОУ Председатель совета ______________________ А. М. Липатов «____»___________ 2003 г.

Трушков А. С.

Родионов К.А.

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

И Н С Т Р У К Ц И Я

для выполнения лабораторной работы

Выборочный метод

2003 г.

СОДЕРЖАНИЕ

1.	Введение ......................... .....................................................................................	2
2.	Выборочный метод ….......................................…………………………..........	2
3.	Точечные оценки параметров распределения ..................................................	3
4.	Критерий согласия Пирсона ...............................................................................	3
5.	Интервальное оценивание параметров распределения ...................................	5
6.	Порядок выполнения лабораторной работы .....................................................	6
7.	Задание к лабораторной работе .........................................................................	13

---

1. Введение

Лабораторная работа выполняется с помощью электронных таблиц Microsoft Excel в операционной среде Windows 95. В исходной рабочей книге используется программа, написанная на алгоритмическом языке Visual Basic for Application (VBA) с помощью, которой по заданному номеру варианта генерируется выборка со случайным объемом наблюдений на основе розыгрыша случайной величины по заданным типу и параметрам закона распределения. Кроме того, с помощью программы производится моделирование исследуемой случайной величины и проведение линейного и нелинейного регрессионного анализа. Целью лабораторной работы является освоение алгоритмов статистических методов обработки выборочной совокупности: вычисление коэффициентов регрессии и построение линейной и нелинейной регрессии, определение значимости коэффициентов регрессии, анализ дисперсии, расчет коэффициента детерминации, определение доверительных интервалов для коэффициентов регрессии и построение диаграммы наблюдений случайной величины.

2. Выборочный метод

Совокупность всех значений случайного признака Х называется генеральной совокупностью. Выборочной совокупностью или выборкой называется совокупность случайных реализаций признака Х. Сущность выборочного метода состоит в том, что характеристики выборки принимаются в качестве приближенных значений характеристик генеральной совокупности. Если это приближение достаточно точное, то выборка называется репрезентативной. Наблюдаемые значения выборки называются вариантами. Последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке называется вариационным рядом. Характеристики, относящиеся к генеральной совокупности называются теоретическими, а характеристики, относящиеся к выборке - эмпирическими или выборочными.

Пусть задан вариационный ряд x_i . Обозначим n_x - число наблюдений, при которых X < x, n - общее число наблюдений (объем выборки). Тогда - относительная частота событияX < x.

Эмпирической функцией распределения называют функцию , определяющую для каждогох относительную частоту события X < x: . Функцияявляется приближенным описанием теоретической функции распределения:

---

F(x) = P(X < x).

Для приближенного описания плотности теоретического распределения используется гистограмма. Интервал, в котором располагаются все значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов и для каждого находят величиныn_j - число наблюдений, попавших в данный интервал. Гистограммой называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны n_j. По форме гистограммы можно сделать предположение о типе закона распределения теоретического распределения. Гипотеза о типе закона распределения может быть проверена с помощью критерия согласия Пирсона.

---

3. Точечные оценки параметров распределения

По выборке определяются точечные оценки параметров теоретического распределения. Несмещенной и состоятельной оценкой генерального среднего х_г (математического ожидания а = М(Х)) является выборочное среднее , вычисляемое по формуле:

. (1)

Состоятельной, но смещенной оценкой генеральной дисперсии D(X), служит выборочная дисперсия D_в , вычисляемая по формуле:

. (2)

В качестве несмещенной оценки генеральной дисперсии D(X) используется исправленная выборочная дисперсия s²:

.

В качестве несмещенной и состоятельной оценки генерального среднего квадратического отклонения (Х) используется исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение s:

. (3)

4. Критерий согласия пирсона

Проверка любой статистической гипотезы осуществляется с заданным уровнем значимости  - вероятности отвергнуть гипотезу при условии, что она верна, то есть  - допускаемая вероятность совершить ошибку при проверке гипотезы. Очевидно, что эта величина должна быть малой. В лабораторной работе будет использоваться значение уровня значимости  =0,05 , то есть допускаемая вероятность ошибки составляет 5%.

Пусть построена гистограмма для заданной выборки объема n с частичными интервалами одинакового размера h. Таким образом, для каждого частичного интервала вычислены частоты n_j , где j = 1, ... , N, N - число частичных интервалов. По форме выборки делается предположение о типе закона распределения. При проверке этой гипотезы в соответствии с критерием согласия Пирсона при заданном уровне значимости  используется следующий порядок расчета.

1) Для каждого частичного интервала определяются средние точки y_j частичных интервалов:

---

, (4)

, (5)

где - длина частичного интервала. (6)

x_max , x_min - максимальная и минимальная варианты выборки,

x_j - точки, которыми интервал значений выборки (x_max ; x_min) разбит на частичные отрезки, при этом x₁ = x_min , x_N+1 = x_max .

2) Вычисляются выборочные характеристики: выборочное среднее и исправленное выборочное среднее квадратическое отклонениеs.

3) Вычисляются теоретические частоты предполагаемого распределения:

а) для равномерного закона по формуле:

, (7)

то есть для всех частичных интервалов теоретические частоты одинаковы;

б) для нормального закона:

, (8)

где , (9)

- плотность нормального нормированного распределения.

в) для показательного (экспоненциального) закона:

, (10)

где _в - выборочный параметр показательного закона распределения:

. (11)

4. Находится наблюдаемое значение критерия “хи-квадрат”:

. (12)

5) Находится критическое значение критерия “хи-квадрат” по уровню значимости  и числу степеней свободы k = N - m_p - 1, где m_p - число параметров распределения, равное m_р = 2 для нормального и равномерного распределений, m_p = 1 для показательного распределения: .

---