Файл: ztv-resh-2010 (1).doc

Заметим, что если бы наше условие нарушалось хотя бы в одной клетке, то величины следовало бы признать зависимыми.

Для вычисления вероятности отметим клетки, для которых выполнено условие. Таких клеток всего три, и соответствующие вероятности в этих клетках равны 1/8, 3/16, 3/8. Их сумма равна 11/16, это и есть искомая вероятность. Вычисление этой вероятности можно записать так:

Задача 4. Пусть случайная величина ξ имеет следующий закон распределения:

	–1	0	2
P	1/4	1/4	1/2

Вычислить математическое ожидание M, дисперсиюDи среднеквадратическое отклонение.

Решение. По определению математическое ожиданиеравно

.

Далее

,

а потому

.

Среднее квадратическое отклонение .

Задача 5. Для пары случайных величин из задачи 3 вычислить.

Решение.Воспользуемся формулой. А именно, в каждой клетке таблицы выполняем умножение соответствующих значенийи, результат умножаем на вероятностьp_ij, и все это суммируем по всем клеткам таблицы. В итоге получаем:

Задача 6.Для пары случайных величин из задачи 3 вычислить ковариациюcov(,).

---

Решение.В предыдущей задаче уже было вычислено математическое ожидание .Осталось вычислить и .Используя полученные в решении задачи 3 частные законы распределения, получаем

; ;

и значит,

,

чего и следовало ожидать вследствие независимости случайных величин.

Задача 7. Случайный вектор (x,h) принимает значения (0,0), (1,0), (–1,0), (0,1) и (0,–1) равновероятно. Вычислить ковариацию случайных величин x и h. Показать, что они зависимы.

Решение. Поскольку Р(x=0)=3/5, P(x=1)=1/5, P(x=–1)=1/5; Р(h=0)=3/5, P(h=1)=1/5, P(h=–1)=1/5, то Мx=3/50+1/51+1/5(–1)=0 и Мh=0;

М(xh)=0´0´1/5+1´0´1/5–1´0´1/5+0´1´1/5–0´1´1/5=0.

Получаем cov(x,h)=М(xh)–МxМh=0, и случайные величины некоррелированны. Однако они зависимы. Пустьx=1, тогда условная вероятность события {h=0} равна Р(h=0|x=1)=1 и не равна безусловной Р(h=0)=3/5, или вероятность {ξ=0,η=0} не равна произведению вероятностей: Р(x=0,h=0)=1/5¹Р(x=0)Р(h=0)=9/25. Следовательно,xиhзависимы.

Задача 8. Случайные приращения цен акций двух компаний за деньиимеют совместное распределение, заданное таблицей:

 	1	+1
1	0,3	0,2
+1	0,1	0,4

Найти коэффициент корреляции.

Решение.Прежде всего вычисляемM=0,30,20,1+0,4=0,4. Далее находим частные законы распределенияи:

 	1	+1	p
1	0,3	0,2	0,5
+1	0,1	0,4	0,5
p	0,4	0,6

---

Определяем M=0,50,5=0;M=0,60,4=0,2;D=1;D=1–0,2²=0,96;cov(,)=0,4. Получаем

.

Задача 9. Случайные приращения цен акций двух компаний за день имеют дисперсииD=1 иD=2, а коэффициент их корреляции=0,7. Найти дисперсию приращения цены портфеля из 5 акций первой компании и 3 акций второй компании.

Решение. Используя свойства дисперсии, ковариации и определение коэффициента корреляции, получаем:

.

Задача 10. Распределение двумерной случайной величины задано таблицей:

h\x	1	3	4	8
3	0,15	0,06	0,25	0,04
6	0,30	0,10	0,03	0,07

Найти условное распределение и условное математическое ожидание h при x=1.

Решение. Условное математическое ожидание равно

.

Из условия задачи найдем распределение составляющих h и x (последний столбец и последняя строка таблицы).

h\x	1	3	4	8	Ph
3	0,15	0,06	0,25	0,04	0,50
6	0,30	0,10	0,03	0,07	0,50
Px	0,45	0,16	0,28	0,11	1

---

Поскольку , то условные вероятности находятся по формулам

, ,

а искомое условное математическое ожидание равно .

---

6. Непрерывные случайные величины

Задача 1. Плотность распределения непрерывной случайной величины имеет вид:

Определить константу C, построить функцию распределения F_x(x) и вычислить вероятность .

Решение. Константа C находится из условия В результате имеем:

откуда C=3/8.

Чтобы построить функцию распределения F_x(x), отметим, что интервал [0,2] делит область значений аргумента x (числовую ось) на три части: Рассмотрим каждый из этих интервалов. В первом случае (когдаx<0) вероятность события (x<x) вычисляется так:

так как плотность x на полуоси равна нулю. Во втором случае

Наконец, в последнем случае, когда x>2,

так как плотность обращается в нуль на полуоси.

Итак, получена функция распределения

Следовательно,

Задача 2.Для случайной величиныxиз задачи 1 вычислить математическое ожидание и дисперсию.

Решение.

Далее,

и значит,

Задача 3.Пусть задана случайная величина. Вычислить вероятность.

---