Файл: ztv-resh-2010 (1).doc

Решение. Здесь и. Согласно указанной выше формуле, получаем:

7. Функции от случайных величин. Формула свертки

Задача 1.Случайная величинаxравномерно распределена на отрезке [0, 2]. Найти плотность случайной величины.

Решение.

Из условия задачи следует, что

Далее, функция является монотонной и дифференцируемой функцией на отрезке [0, 2] и имеет обратную функцию, производная которой равнаКроме того,,. Следовательно,

Значит,

Задача 2. Пусть двумерный случайный вектор (x,h) равномерно распределен внутри треугольника. Вычислить вероятность неравенстваx>h.

Решение.Площадь указанного треугольникаравна(см. рис. 7.1). В силу определения двумерного равномерного распределения совместная плотность случайных величинx,hравна

Событиесоответствует множествуна плоскости, т.е. полуплоскости. Тогда вероятность

---

Рис. 7.1.

На полуплоскости Bсовместная плотностьравна нулю вне множестваи 1/2 – внутри множества. Таким образом, полуплоскостьBразбивается на два множества:и. Следовательно, двойной интеграл по множествуBпредставляется в виде суммы интегралов по множествами, причем второй интеграл равен нулю, так как там совместная плотность равна нулю. Поэтому

.

Если задана совместная плотность распределения случайной пары (x,h), то плотностиисоставляющихxиhназываютсячастными плотностямии вычисляются по формулам:

Для непрерывно распределенных случайных величин с плотностями р_x(х), р_h(у) независимость означает, что при любых х и у выполнено равенство

.

Задача 3. В условиях предыдущей задачи определить, независимы ли составляющие случайного вектораxиh.

Решение. Вычислим частные плотностии. Имеем:

Аналогично,

Очевидно, что в нашем случае , и потому случайные величиныxиhзависимы.

---

Числовые характеристики для случайного вектора (x,h) можно вычислять с помощью следующей общей формулы. Пусть— совместная плотность величинxиh, аy(х,у) — функция двух аргументов, тогда

.

В частности,

Задача 4.В условиях предыдущей задачи вычислить.

Решение.Согласно указанной выше формуле имеем:

.

Представив треугольник в виде

,

двойной интеграл можно вычислить как повторный:

Задача 5. Пустьxиh— независимые случайные величины, распределенные по показательному закону с параметром. Вычислить плотность суммы.

Решение.Посколькуxиhраспределены по показательному закону с параметром, то их плотности равны

Следовательно,

Поэтому

Если x<0, то в этой формуле аргумент функцииотрицателен, и поэтому. Следовательно,Если же, то имеем:

Таким образом, мы получили ответ:

---

Задача 6. Двумерный случайный вектор (x, h) равномерно распределен внутри треугольника . Найти условное распределениеx при условии h=y и функцию регрессии j_x|h(y).

Решение. Как было показано ранее (см. задачи 2 и 3),

и

Поделив первую плотность на вторую, получаем условную плотность:

Таким образом, речь идет о равномерном распределении на промежутке (0, 2–y). Функцию регрессии вычисляем как математическое ожидание равномерного распределения. Получаем j_x|h(y)=(2–y)/2, 0<y<2.

---

8. Неравенство Чебышева. Центральная предельная теорема

Задача 1. В 400 испытаниях Бернулли вероятность успеха в каждом испытании равна 0,8. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что разница между числом успехов в этих испытаниях и средним числом успехов будет меньше 20.

Решение. Число успехов в этих испытаниях распределено по закону Бернулли, поэтому среднее число успехов равно М=np=400×0,8=320, а дисперсия D=npq=400×0,8×0,2=64. Тогда в силу неравенства Чебышева имеем:

Вычислим эту же вероятность с помощью приближенной (интегральной) формулы Муавра-Лапласа:

Задача 2.В продукции цеха детали отличного качества составляют 50. Детали укладываются в коробки по 200 шт. в каждой. Какова вероятность того, что число деталей отличного качества в коробке отличается от 100 не более, чем на 5?

Решение.Пусть_iслучайное число деталей отличного качества вi-ой коробке, тогда приn=200,p=q=1/2 получим:

Задача 3.Используя условия задачи 1, указать, в каких границах с вероятностью 0,997 находится число деталей отличного качества в коробке.

Решение.По таблице функции Лапласа при условиинаходимu=3, и следовательно,S_nлежит в пределах, т.е. число деталей отличного качества в коробке с вероятностью 0,997 находится в пределах 10021.

Задача 3. Используя условия задачи 1, определить, сколько деталей надо взять, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,99, можно было утверждать, что число деталей отличного качества среди них не менее 100.

Решение.Обозначим. Используя нормальное приближение, получаем

.

Отсюда , а из таблицы 2 и свойств функции Лапласа получаем неравенство. Обозначив, с учетомp=q=1/2, приходим к квадратному неравенству х² –2,3х–2000, решая которое, получаемn236.

---