Файл: Лекции (Теория вероятности).pdf

Свойство 2.2 Для достоверного события - (которое содержит все N элементарных исходов)

P(-) = 1:

Свойство 2.3 Если события A и B несовместны (AB = ;), то P(A + B) = P(A) + P(B):

Доказательство. Действительно, если событию A благоприятствуют N1 исходов, а событию B N2 исходов, то в силу несовместности A и B событию A + B благоприятствуют N1 + N2 исходов. Следовательно,

P(A + B) = N1 + N2 = N1 + N2 = P(A) + P(B):

N N N

Оказывается, что эти три свойства являются основными. Из них как следствия можно получить другие полезные свойства (подробнее они будут рассмотрены ниже), например:

Недостаток классического определения заключается в том, что оно применимо только к пространствам элементарных исходов, состоящим из конечного числа равновозможных исходов. Этим определением нельзя воспользоваться даже в тех случаях, когда пространство элементарных исходов конечно, но среди исходов есть более предпочтительные или менее предпочтительные.

Геометрическое определение вероятности

Геометрическое определение вероятности обобщает классическое на случай бесконечного множества элементарных исходов - тогда, когда - представляет собой подмножество пространства R (числовой прямой), R2 (плоскости), Rn (n-мерного евклидова пространства).

В пространстве R в качестве подмножеств будем рассматривать лишь промежутки или их объединения, т.е. подмножества, которые имеют длину. В пространстве R2 те подмножества, которые имеют площадь, и т.д.

Под мерой ¹(A) подмножества A будем понимать его длину, площадь или объем (обобщенный объем) в зависимости от того, какому пространству принадлежит -: в R, в R2 или в R3 (Rn). Будем также считать, что пространство элементарных исходов - имеет конечную меру, а возможность попадания “случайно брошенной” точки в любое подмножество - пропорциональна мере этого подмножества и не зависит от его расположения и формы. В этом случае говорят, что рассматривается “геометрическая схема” или “точку наудачу бросают в область -”.

Определение 2.2 Вероятностью события A называют число P(A), равное отношению меры

множества A к мере множества -:

P(A) = ¹(A); ¹(-)

где ¹(A) мера множества A.

Данное определение вероятности события принято называть геометрическим определением вероятности.

Заметим, что в литературе вероятность события A, определенную выше, на основе геометрической схемы, часто называют геометрической вероятностью.

Геометрическая вероятность, очевидно, сохраняет отмеченные ранее свойства вероятности P(A) в условиях классической схемы.

Пример 2.2 Ромео и Джульетта договорились встретиться в определенном месте между двенадцатью часами и часом дня. Необходимо найти вероятность встречи, если приход каждого из них в течение указанного часа происходит наудачу, причем известно, что Ромео ждет Джульетту ровно 20 минут, а Джульетта Ромео 5 минут.

Для решения задачи воспользуемся геометрической схемой вероятности. Обозначим момент прихода Ромео через x, а Джульетты через y. Тогда любой элементарный исход ! в данной задаче можно отождествить с некоторой точкой (x; y) на плоскости xOy. Выберем за начало отсчета 12 часов, а за единицу измерения 1 минуту и построим на плоскости xOy пространство элементарных исходов -. Очевидно, что это будет квадрат со стороной 60 (см. рис. 2.1). Событие A (Ромео и Джульетта встретятся) произойдет тогда, когда разность y ¡ x не превысит t1 = 20, а разность x ¡ y не превысит t2 = 5, т.е. условие встречи определяет систему неравенств

7

½y ¡ x 6 20; x ¡ y 6 5:

Область A элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, на рис. 2.1 заштрихована. Ее площадь SA равна площади квадрата без двух угловых треугольников, т.е.

SA = 602 ¡ (60 ¡ t1)2 ¡ (60 ¡ t2)2 = 1287;5: 2 2

Тогда, согласно определению 2.2, находим P(A) = SA = 1287;5 ¼ 0;36: S- 3600

Статистическое определение вероятности

В основе статистического определения вероятности лежит общий принцип, в соответствии с которым методы теории вероятностей применимы только к таким испытаниям, которые могут быть, по крайней мере теоретически, повторены бесконечное число раз, и при этом имеет место свойство устойчивости частот появления связанных с этими испытаниями событий (см. Введение).

Пусть произведено n повторений опыта, причем в nA из них появилось событие A. Обозначим rA = nA=n наблюденную частоту события A. Практика показывает, что в тех экспериментах, для которых применимы методы теории вероятностей, частота события A с увеличением числа опытов n стабилизируется, т.е. стремится к некоторому пределу (допуская некоторую вольность речи).

Определение 2.3 Вероятностью события A называют (эмпирический) предел P(A), к которому стремится частота rA события A при неограниченном увеличении числа n опытов.

Данное определение вероятности события принято называть статистическим определением вероятности.

Можно показать, что при статистическом определении вероятности события сохраняются свойства вероятности события, справедливые в условиях классической схемы, т.е.

1)P(A) > 0;

2)P(-) = 1;

3)P(A + B) = P(A) + P(B), если AB = ;.

Спрактической точки зрения статистическое определение вероятности является наиболее разумным. Однако с позиции теории вероятностей как раздела современной математики недостаток статистического определения очевиден: нельзя провести бесконечное число повторений опыта, а при конечном числе повторений наблюденная частота, естественно, будет разной при различном числе повторений.

Заметим, что связь между классическим и статистическим определениями была выявлена еще

впериод становления теории вероятностей как теории азартных игр. Было установлено, что при корректном использовании классического определения вероятность событий практически совпадает с их частотами при большом числе повторений эксперимента.

И хотя игроков интересовала частота определенных событий, решение задач, полученное на основе классического определения вероятности, их вполне устраивало. Иными словами, даже игроки азартных игр знали о совпадении статистического определения с другими (классическим и его обобщением геометрическим).

Собственно говоря, задача определения связи вероятности с частотой не потеряла актуальности и в наши дни, когда в теории вероятностей повсеместно используется аксиоматическое определение вероятностей Колмогорова (см. 2.3). Это привело к появлению и широкому внедрению в практику обширного раздела теории вероятностей математической статистики.

Аксиоматическое определение вероятности

Для того чтобы понять смысл аксиоматического определения вероятности, рассмотрим

классическую схему.

В этом случае вероятность любого элементарного исхода !i, i = 1;N, P(!i) = 1=N.

Вероятность любого события A при этом равна P(A) = NA=N, где NA число исходов, благоприятствующих событию A.

Вероятность P(A) можно записать также в следующем виде

X

P(A) = P(!i);

!i2A

8

где суммирование ведется по всем значениям индекса i, при которых элементарные исходы !i образуют событие A.

Однако задать вероятность события по такому принципу уже в случае геометрической схемы нельзя, так как при этом вероятность любого элементарного события равна нулю.

Поэтому следует дать определение вероятности события для любого пространства элементарных исходов -, не связанное с вероятностями элементарных исходов, а учитывающее те свойства вероятности событий, которые имеют место для всех предыдущих определений вероятности события (классического, геометрического, статистического).

Напомним, что этими свойствами являются следующие: 1) P(A) > 0; 2) P(-) = 1; 3) P(A1 + ::: +

Am) = P(A1) + ¢¢¢ + P(Am), если события A1, . . . , Am попарно несовместны.

Именно эти три свойства лежат в основе аксиоматического определения вероятности. При этом свойство 3 постулируется для суммы счетного множества попарно несовместных событий.

Определение 2.4 Пусть каждому событию A (т.е. подмножеству A пространства элементарных исходов -, принадлежащему ¾-алгебре B) поставлено в соответствие число P(A). Числовую функцию P (заданную на ¾-алгебре B) называют вероятностью (или вероятностной мерой), если она удовлетворяет следующим аксиомам:

Аксиома 1 (аксиома неотрицательности): P(A) > 0; Аксиома 2 (аксиома нормированности): P(-) = 1;

Аксиома 3 (расширенная аксиома сложения): для любых попарно несовместных событий A1;:::;An;::: справедливо равенство

P(A1 + ::: + An + :::) = P(A1) + ::: + P(An) + :::

Значение P(A) называют вероятностью события A.

Иногда вместо аксиомы 3 удобно использовать две другие аксиомы.

Аксиома 30 (аксиома сложения): для любых попарно непересекающихся событий A1, . . . ,

An справедливо равенство

P(A1 + ::: + An) = P(A1) + ::: + P(An):

Аксиома 4 (аксиома непрерывности): если последовательность событий A1, . . . , An, . . .

такова, что An ½ An+1, n 2 N, и A1 [ ::: [ An [ ::: = A; то lim P(An) = P(A):

n!1

Можно доказать, что аксиомы 30 и 4 в совокупности равносильны аксиоме 3.

Замечание 2.1 Если пространство элементарных исходов - является конечным или счетным множеством, то каждому элементарному исходу !i 2 -; i = 1;2;:::; можно поставить в соответствие число P(!i) = pi > 0 так, что

XX1

Тогда для любого события A ½ - в силу аксиомы 3 вероятность P(A) равна сумме вероятностей P(!i) всех тех элементарных исходов, которые входят в событие A, т.е.

X

P(A) = P(!i):

!i2A

Таким образом, мы определили вероятность любого события, используя вероятности элементарных исходов. Заметим, что вероятности элементарных исходов можно задавать совершенно произвольно, лишь бы они были неотрицательными и в сумме составляли единицу. Именно в этом и состоит идея аксиоматического определения вероятности. #

В следующей теореме докажем утверждения, описывающие ряд полезных свойств вероятности.

Теорема 2.1 Вероятность удовлетворяет следующим свойствам.

1.Вероятность противоположного события P(A) = 1 ¡ P(A):

2.Вероятность невозможного события P(;) = 0:

3.Если A ½ B, то P(A) 6 P(B) (“большему” события соответствует б´ольшая вероятность).

4.Вероятность заключена между 0 и 1: 0 6 P(A) 6 1:

5.Вероятность объединения двух событий P(A [ B) = P(A) + P(B) ¡ P(AB):

6.Вероятность объединения любого конечного числа событий

P(a1 [ ::: [ An) = P(A1) + ::: + P(An) ¡ P(A1A2) ¡ P(A1A3) ¡ ::: ¡ P(An¡1An)+

+ P(A1A2A3) + ::: + (¡1)n+1P(A1A2 :::An):

9

Доказательство. Поскольку - = A + A; то, согласно расширенной аксиоме сложения, P(-) = P(A) + P(A); откуда с учетом аксиомы нормированности получаем утверждение 1.

Утверждение 2 вытекает из равенства A = A + ; и расширенной аксиомы сложения.

Пусть A ½ B. Тогда B = A + (B n A): В соответствии с расширенной аксиомой сложения P(B) = P(A) + P(B n A): Отсюда и из аксиомы неотрицательности приходим к утверждению 3.

В частности, так как всегда A ½ -, то с учетом аксиомы неотрицательности получаем утверждение 4.

Поскольку A [ B = A + (B n A); B = (B n A) + AB; то, используя расширенную аксиому сложения, находим P(A [ B) = P(A) + P(B n A) и P(B) = P(B n A) + P(AB): Подставляя в первое из последних двух равенств вероятность P(B n A), выраженную из второго равенства, приходим к утверждению 5.

Утверждение 6 можно доказать с помощью метода математической индукции по n. Так, для трех событий A; B и C

P(A [ B [ C) = P(A) + P(B [ C) ¡ P(A(B [ C)) = P(A) + P(B) + P(C) ¡ P(BC) ¡ P(AB [ AC) = = P(A) + P(B) + P(C) ¡ P(BC) ¡ P(AB) ¡ P(AC) + P(ABC):

Для четырех и более событий это утверждение проверьте самостоятельно.

Замечание 2.2 Утверждения 5 и 6 называют теоремами сложения вероятностей для двух и для n событий соответственно.

Приведем пример, показывающий, что без учета того, что события совместные, можно прийти к неправильному результату.

Пример 2.3 Опыт состоит в двукратном подбрасывании симметричной монеты. Найдем вероятность события A, означающего появление “герба” хотя бы один раз. Обозначим Ai появление “герба” при i-м подбрасывании, i = 1;2. Ясно, что A = A1 [ A2; и в соответствии с классической схемой ве-

роятности P(A1) = P(A2) = 12: Если не учитывать, что A1 и A2 совместные события, то можно

1 1 P(A) = P(A1) + P(A2) = 2 + 2 = 1;

противоречащий здравому смыслу, поскольку ясно, что событие A не является достоверным. Применяя теорему сложения для двух совместных событий и учитывая равенство P(A1A2) = 14; находим

Определение 2.5 Тройку (-; B; P), состоящую из пространства элементарных исходов -, с ¾- алгеброй событий B и определенной на B вероятности P, называют вероятностным пространством.

Таким образом, понятие вероятностного пространства объединяет хорошо известные физические понятия: исход опыта, событие, вероятность события.

10