Файл: Лекции (Теория вероятности).pdf

Лекция 3

Условная вероятность

Рассмотрим события A и B, связанные с одним и тем же опытом. Пусть из каких-то источников нам стало известно, что событие B наступило, но не известно, какой конкретно из элементарных исходов, составляющих событие B, произошел. Что можно сказать в этом случае о вероятности события A?

Вероятность события A, вычисленную в предположении, что событие B произошло, принято называть условной вероятностью и обозначать P(AjB).

Понятие условной вероятности играет важнейшую роль в современной теории вероятностей. Условная вероятность позволяет учитывать дополнительную информацию при определении вероятности события. В ряде случаев при помощи условной вероятности можно существенно упростить вычисление вероятности. Понятию условной вероятности и посвящена настоящая лекция.

Определение условной вероятности

Предположим сначала, что мы находимся в рамках классической схемы. Пусть событиям A и B благоприятствуют NA и NB элементарных исходов соответственно. Посмотрим, что дает нам имеющаяся информация о событии B. Поскольку событие B произошло, то достоверно известно, что в результате опыта появился один из NB элементарных исходов, составляющих событие B. Значит, теперь уже при определении степени возможности события A необходимо выбирать только из NB возможных исходов, причем событию A благоприятствуют NAB исходов, при которых происходят и событие A, и событие B, или, другими словами, происходит событие AB. При этом по-прежнему будем считать все NB входящих в событие B исходов равновероятными. Поэтому условную вероятность P(AjB) события A при условии события B в рамках классической схемы вероятности естественно определить как отношение числа NAB исходов, благоприятствующих совместному осуществлению событий A и B, к числу NB исходов, благоприятствующих событию

NAB :

NB

Если теперь поделить числитель и знаменатель полученного выражения на общее число N эле-

ментарных исходов, то придем к формуле P(AjB) = NAB=N = P(AB): NB=N P(B)

На основании изложенного выше можно дать следующее определение.

Определение 3.1 Условной вероятностью события A при условии (наступлении) события B называют отношение вероятности пересечения событий A и B к вероятности события B:

При этом предполагают, что P(B) =6 0.

В связи с появлением термина “условная вероятность” будем вероятность события называть также безусловной вероятностью события.

Рассмотрим теперь условную вероятность P(AjB) как функцию события A.

Теорема 3.1 Условная вероятность P(AjB) обладает всеми свойствами безусловной вероятности P(A).

Доказательство. Для доказательства достаточно показать, что условная вероятность P(AjB) удовлетворяет аксиомам 1, 2 и 3 (см. 2.3).

Из определения 3.1 следует, что условная вероятность, удовлетворяет аксиоме неотрицательности, так как числитель дроби является неотрицательным числом, а знаменатель положительным числом.

11

Поскольку -B = B, то P(-jB) = P(-B) = P(B) = 1; т. е. условная вероятность удовлетворяет

аксиоме нормированности.

P(B) P(B)

Наконец, пусть A1;:::;An;::: попарно непересекающиеся события. Тогда

(A1 + ::: + An + :::)B = A1B + ::: + AnB + :::

и

P(A1 + ::: + An + :::jB) = P((A1 + ::: + An + :::)B) =

P(B)

= P(A1B) + ::: + P(AnB) + ::: = P(A1jB) + ::: + P(AnjB) + ::: ;

где в последнем равенстве использовано свойство умножения сходящегося ряда на постоянную. Следовательно, условная вероятность удовлетворяет расширенной аксиоме сложения 3.

Смысл теоремы 3.1 заключается в том, что условная вероятность представляет собой безусловную вероятность, заданную на новом пространстве -1 элементарных исходов, совпадающем с событием B.

Пример 3.1 Рассмотрим опыт с однократным бросанием игральной кости, но не обычной, а с раскрашенными гранями: грани с цифрами 1, 3 и 6 окрашены красным, а грани с цифрами 2, 4 и 5 белым цветом. Введем события: A1 выпадение нечетного числа очков; A2 выпадение четного числа очков; B появление грани красного цвета. Интуитивно ясно, что если произошло событие B, то условная вероятность события A1 больше, чем условная вероятность события A2, поскольку на красных гранях нечетных чисел в два раза больше, чем четных. Заметим, что безусловные вероятности событий A1 и A2 при этом одинаковы и равны, очевидно, 1=2.

Найдем условные вероятности событий A1 и A2 при условии события B. Очевидно, что

что подтверждает наше предположение.

Геометрическая интерпретация условной вероятности

При практическом вычислении условной вероятности события A при условии, что событие B произошло, часто удобно трактовать условную вероятность как безусловную, но заданную не на исходном пространстве - элементарных исходов, а на новом пространстве -1 = B элементарных исходов. Действительно, используя геометрическое определение вероятности, получаем для безусловной и условной вероятностей события A (на рис. 3.1 заштрихованная область

Здесь SA; S- и т.д. обозначают соответственно площади A, - и т.д. Таким образом, выражение для P(AjB) будет совпадать с выражением для P(A), вычисленным в соответствии со схемой геометрической вероятности, если исходное пространство - элементарных исходов заменить новым пространством -1 = B.

Пример 3.2 Из урны, в которой a = 7 белых и b = 3 черных шаров, наугад без возвращения извлекают два шара. Пусть событие A1 состоит в том, что первый извлеченный из урны шар является белым, а A2 белым является второй шар. Требуется найти P(A2jA1).

Приведем решение этой задачи двумя способами.

Первый способ. В соответствии с определением условной вероятности имеем (опуская пояснения):

12

Второй способ. Перейдем к новому пространству -1 элементарных исходов. Так как событие A1 произошло, то это означает, что в новом пространстве элементарных исходов всего равновозможных исходов N-1 = a + b ¡ 1 = 9; а событию A2 благоприятствует при этом NA2 = a ¡ 1 = 6 исходов.

6 2

Следовательно, P(A2jA1) = 9 = 3:

Формула умножения вероятностей

При решении различных задач вероятностного характера часто интересующее нас событие A можно достаточно просто выразить через некоторые события A1; A2; :::; An с помощью операций объединения или пересечения. Если A = A1A2 :::An; то для нахождения вероятности P(A) события A

обычно удобно использовать следующую теорему.

Теорема 3.2 (теорема умножения вероятностей) Пусть событие A = A1A2 :::An (т. е. A

пересечение событий A1; A2; :::; An) и P(A) > 0. Тогда справедливо равенство

P(A) = P(A1)P(A2jA1)P(A3jA1A2):::P(AnjA1A2 :::An¡1);

называемое формулой умножения вероятностей.

Доказательство. Поскольку P(A) = P(A1A2 :::An) > 0, а A1A2 :::Ak ¶ A1A2 :::An (k = 1;n ¡ 1);

то и P(A) = P(A1A2 :::Ak) > 0. Учитывая это неравенство, согласно определению 3.1 условной веро-

ятности, имеем

P(AnjA1A2 :::An¡1) = P(A1A2 :::An) : P(A1A2 :::An¡1)

Умножая обе части этого равенства на P(A1A2 :::An¡1), получаем

P(A1A2 :::An) = P(A1A2 :::An¡1)P(AnjA1A2 :::An¡1):

Аналогично находим P(A1A2 :::An¡1) = P(A1A2 :::An¡2)P(An¡1jA1A2 :::An¡2): Тогда

P(A1A2 :::An) = P(A1A2 :::An¡2)P(An¡1jA1A2 :::An¡2) £ P(AnjA1A2 :::An¡1):

Продолжая эту процедуру, получаем формулу умножения вероятностей.

Пример 3.3 На семи карточках написаны буквы, образующие слово “СОЛОВЕЙ”. Карточки перемешивают и из них наугад последовательно извлекают и выкладывают слева направо три карточки. Найдем вероятность того, что получится слово “ВОЛ” (событие A).

Введем события: A1 на первой выбранной карточке написана буква “В”; A2 на второй карточке буква “О”; A3 на третьей карточке буква “Л”. Тогда событие A есть пересечение событий A1; A2 и A3. Следовательно, в соответствии с формулой умножения вероятностей

P(A) = P(A1A2A3) = P(A1)P(A2jA1)P(A3jA1A2): Согласно классическому определению 2.1 вероятно-

1

сти, имеем P(A1) = 7:

Если событие A1 произошло, то на шести оставшихся карточках буква “О” встречается два раза, поэтому условная вероятность P(A2jA1) = 26 = 13: Аналогично определяем P(A3jA1A2) = 15:

Окончательно получаем P(A) = P(A1A2A3) = 17 ¢ 13 ¢ 15 = 1051 ¼ 0;0095:

Независимые и зависимые события

Из рассмотренных выше примеров видно, что условная вероятность P(AjB) события A при условии, что событие B произошло, может как совпадать с безусловной вероятностью P(A), так и не совпадать, т.е. наступление события B может влиять или не влиять на вероятность события A. Поэтому естественно степень связи (или степень зависимости) событий A и B оценивать путем сопоставления их условных вероятностей P(AjB), P(BjA) с безусловными.

Определение 3.2 События A и B, имеющие ненулевую вероятность, называют независимыми, если условная вероятность A при условии B совпадает с безусловной вероятностью A или если условная вероятность B при условии A совпадает с безусловной вероятностью B, т.е.

в противном случае события A и B называют зависимыми.

13

Теорема 3.3 События A и B, имеющие ненулевую вероятность, являются независимыми тогда и только тогда, когда

Доказательство. Пусть выполнено равенство (3.3). Воспользовавшись формулой умножения вероятностей для двух событий, получим

P(AB) = P(A)P(BjA) = P(A)P(B):

К аналогичному выводу приходим и в случае выполнения равенства (3.2), т.е. из условия независимости событий следует (3.4).

Обратно, пусть выполнено равенство (3.4). Тогда, согласно определению 3.1 условной вероятности,

т.е. в силу определения 3.2 события A и B независимы.

Таким образом, в качестве эквивалентного определения независимости двух событий, имеющих ненулевую вероятность, может служить следующее определение.

Определение 3.3 События A и B называют независимыми, если выполняется равенство (3.4).

Отметим, что последним определением можно пользоваться даже в том случае, когда вероятности событий A или B равны нулю.

Замечание 3.1 Из теоремы 3.3 следует, что если в определении 3.2 независимости выполняется одно из равенств (3.2) или (3.3), то выполняется автоматически и другое, т.е. в определении 3.2 достаточно потребовать выполнения любого одного из них.

Пример 3.4 Из колоды карт, содержащей n = 36 карт, наугад извлекают одну карту. Обозначим через A событие, соответствующее тому, что извлеченная карта будет пиковой масти, а B событие, соответствующее появлению “дамы”. Определим, являются ли зависимыми события A и B.

После вычислений получаем

т.е. выполняется равенство (3.2), и поэтому события A и B независимы. Отметим, что в соответствии с замечанием 3.1, имеет место и равенство (3.3) P(AjB) = 14==3636 = 14 = P(A). Следовательно, события

A и B независимы. #

Изменим теперь условия опыта, дополнительно добавив в колоду, допустим, N = 100 “пустых” карт (без рисунка). Изменится ли ответ? Имеем P(B) = 1364 = 341 ; т.е. безусловная вероятность

события B уменьшилась. Однако условная вероятность P(BjA) = P(AB) = 1=136 = 1 не изменилась,

P(A) 9=136 9

т.е события A и B стали зависимыми.

Теорема 3.4 Если события A и B независимые, то независимыми также являются пары событий A и B, A и B, A и B, если вероятности соответствующих событий ненулевые¡. ¢

Доказательство. В силу теоремы 3.1 и независимости событий A и B имеем: P AjB = 1 ¡ P¡AjB¢ = 1 ¡ P¡A¢ = P¡A¢; что означает независимость событий A и B. Независимость остальных пар событий можно доказать аналогично.

Определение 3.4 События A1;A2;:::;An называют независимыми в совокупности, если вероятность пересечения любых двух различных событий равна произведению вероятностей этих событий; вероятность пересечения любых трех событий равна произведению их вероятностей;:::; вероятность пересечения всех событий равна произведению их вероятностей.

Для событий A1; A2; :::; An, независимых в совокупности, имеет место утверждение, аналогичное утверждению теоремы 3.4.

Теорема 3.5 Если события A1; A2; :::; An независимы в совокупности, то и события A1; A2; :::; An независимы в совокупности. #

14

Если только любые два события из данной совокупности являются независимыми, то говорят о

попарной независимости событий из этой совокупности.

Так же как и в случае двух событий, можно показать, что на вероятность каждого из независимых в совокупности событий не оказывает влияние появление или непоявление остальных событий.

Замечание 3.2 В силу определения независимости событий в совокупности формула умножения вероятностей для независимых в совокупности событий имеет вид P(A1A2 :::An) =

P(A1)P(A2):::P(An): #

Из независимости событий с ненулевыми вероятностями в совокупности, согласно теореме 3.3, следует их попарная независимость. Однако из попарной независимости, вообще говоря, независимость в совокупности не следует, что демонстрирует следующий пример.

Пример 3.5 Опыт состоит в однократном подбрасывании тетраэдра, грани которого “пронумерованы” следующим образом: на трех гранях стоят цифры 1, 2 и 3 соответственно (одна цифра на каждой из них), а на четвертой присутствуют все цифры 1, 2 и 3.

Введем события Ai падение тетраэдра на грань, на которой присутствует цифра i, i = 1;3. Покажем, что события A1; A2 и A3 попарно независимы, но зависимы в совокупности.

Согласно классическому определению вероятности, получаем

A2 и A3 зависимы в совокупности. #

Заметим, что, когда говорят о независимости событий A1;:::;An, подразумевают именно независимость событий в совокупности, в отличие от попарной независимости событий A1;:::;An.

Запишем формулу для вероятности объединения независимых событий. Пусть A = A1 [::: [An:

Тогда в соответствии с законом де Моргана A = A :::A : Если события A ; :::; A независимые,

1 n 1¡ ¢ n¡ ¢ ¡ ¢

то, согласно теореме 3.5, события A1; :::; An также независимые и, значит, P A = P A1 :::P An :

Отсюда окончательно получаем формулу для вероятности объединения независимых событий:

P(A1 [ ::: [ An) = 1 ¡ P(A1 [ ::: [ An) = 1 ¡ P(A1 \ ::: \ An) =

= 1 ¡ P(A1):::P(An) = 1 ¡ [1 ¡ P(A1)]:::[1 ¡ P(An)]:

Замечание 3.3 (о связи между совместными и зависимыми событиями). Между понятиями “несовместные” и “независимые” события имеется следующая связь:

1)если A и B несовместные события (и P(A) 6= 0, и P(B) 6= 0), то они обязательно зависимые;

2)если A и B совместные события, то они могут быть и зависимыми и независимыми;

3)если A и B зависимые события, то они могут быть и совместными и несовместными. #

15