Файл: Лекции (Теория вероятности).pdf

Лекция 4

Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема Бернулли

Формула полной вероятности

Предположим, что в результате опыта может произойти одно из n событий H1;H2;:::;Hn, которые удовлетворяют следующим двум условиям:

1)они являются попарно несовместными, т.е. HiHj = ; при i 6= j;

2)хотя бы одно из них обязательно должно произойти в результате опыта, другими словами, их

объединение есть достоверное событие, т.е. H1 [ ::: [ Hn = -:

Определение 4.1 События H1;H2;:::;Hn удовлетворяющие условиям 1 и 2, называют гипотезами.

Теорема 4.1 Пусть для некоторого события A и гипотез H1; :::; Hn известны P(H1); :::; P(Hn), которые положительны, и P(AjH1); :::; P(AjHn). Тогда безусловную вероятность P(A) определяют по формуле

которую называют формулой полной вероятности.

Доказательство. Представим событие A в виде

A = A- = A(H1 + ::: + Hn) = AH1 + ::: + AHn

(на рис. 4.1 область, соответствующая событию A, заштрихована). С учетом того, что события AHi; i = 1;n, несовместны, имеем

P(A) = P(AH1) + ::: + P(AHn):

В соответствии с формулой умножения вероятностей получаем

P(AH1) = P(H1)P(AjH1); :::; P(AHn) = P(Hn)P(AjHn):

Поэтому

P(A) = P(H1)P(AjH1) + ::: + P(Hn)P(AjHn):

Формула полной вероятности при всей своей простоте играет весьма существенную роль в теории вероятностей.

Пример 4.1 Путник должен попасть из пункта B в пункт A в соответствии со схемой дорог изображенной на рис. 4.2. Выбор любой дороги в любом пункте равновозможен. Найдем вероятность события A достижения путником намеченной цели.

16

Для того чтобы попасть в пункт A, путник должен пройти один из промежуточных пунктов H1; H2 или H3. Введем гипотезы Hi, где Hi означает, что путник выбрал в пункте B путь, ведущий в пункт Hi; i = 1;2;3. Ясно, что события Hi несовместные и одно из них обязательно происходит, причем в силу равновозможности выбора дорог из

B в Hi P(Hi) = 13. Остается вычислить условные вероятности P(AjHi),

которые легко найти, если рассматривать новое пространство элементарных исходов, соответствующее выбранной гипотезе Hi.

Заметим, что данная задача может иметь техническую интерпретацию: сеть дорог это сеть каналов передачи информации, а P(A) вероятность передачи сообщения по такой сети.

Формула Байеса

Пусть по-прежнему некоторое событие A может произойти с одним из событий H1; :::; Hn, образующих полную группу попарно несовместных событий, называемых, как уже отмечалось, гипотезами. Предположим, что известны вероятности гипотез P(H1); :::; P(Hn) (P(Hi) > 0; i = 1;n) и что в результате опыта событие A произошло, т.е. получена дополнительная информация. Спрашивается, как “изменятся” вероятности гипотез, т.е. чему будут равны условные вероятности

P(H1jA); :::; P(HnjA), если известны также условные вероятности P(AjH1); :::; P(AjHn) события A? Для ответа на этот вопрос используют следующую теорему.

Доказательство. Согласно определению 3.1 условной вероятности, P(HijA) = P(AHi): Выражая

P(A)

теперь по формуле умножения вероятностей P(AHi) через P(AjHi) и P(Hi), получаем P(AHi) =

P(Hi)P(AjHi): Поэтому P(HijA) = P(Hi)P(AjHi): P(A)

Подставляя вместо вероятности P(A) ее значение, вычисленное в соответствии с формулой (4.1) полной вероятности, приходим к утверждению теоремы.

Формула Байеса находит широкое применение в математической статистике, теории принятия решений и их приложениях. Заметим, что вероятности P(H1); :::; P(Hn) обычно называют априорными (т.е. полученными “до опыта”), а условные вероятности P(H1jA); :::; P(HnjA) апостериорными (т.е. полученными “после опыта”).

Пример 4.2 Врач после осмотра больного считает, что возможно одно из двух заболеваний, которые мы зашифруем номерами 1 и 2, причем степень своей уверенности в отношении правильности диагноза он оценивает как 40 % и 60 % соответственно. Для уточнения диагноза больного направляют на анализ, исход которого дает положительную реакцию при заболевании 1 в 90 % случаев и при заболевании 2 в 20 % случаев. Анализ дал положительную реакцию. Как изменится мнение врача после этого?

Обозначим через A событие, означающее, что анализ дал положительную реакцию. Естественно ввести следующие гипотезы: H1 имеет место заболевание 1; H2 имеет место заболевание 2. Из условий задачи ясно, что априорные вероятности гипотез равны: P(H1) = 0;4 и P(H2) = 0;6, а условные вероятности события A при наличии гипотез H1 и H2 равны 0,9 и 0,2 соответственно. Используя

0;4 ¢ 0;9

формулу Байеса, находим P(HijA) = 0;4 ¢ 0;9 + 0;6 ¢ 0;2 = 0;75: Итак, врач с большей уверенностью признает наличие заболевания 1.

17

Схема Бернулли

Повторные испытания это последовательное проведение n раз одного и того же опыта или одновременное проведение n одинаковых опытов. Например, при контроле уровня надежности прибора могут либо проводить n испытаний с одним и тем же прибором, если после отказа полностью восстанавливают его исходные свойства, либо ставить на испытания n опытных образцов этого прибора, которые считают идентичными.

Определение 4.2 Схемой Бернулли (или последовательностью независимых одинаковых испытаний, или биномиальной схемой испытаний) называют последовательность испытаний, удовлетворяющую следующим условиям:

1)при каждом испытании различают лишь два исхода: появление некоторого события A, называемого “успехом”, либо появление его дополнения A, называемого “неудачей”;

2)испытания являются независимыми, т.е. вероятность успеха в k-м испытании не зависит от исходов всех испытаний до k-го;

3)вероятность успеха во всех испытаниях постоянна и равна P(A) = p:

Вероятность неудачи в каждом испытании обозначим q, т.е. P(A) = 1 ¡ p = q:

Приведем примеры реальных испытаний, которые в той или иной степени “вписываются” в рамки сформулированной модели испытаний по схеме Бернулли.

1.Последовательное подбрасывание n раз симметричной монеты (здесь успехом является появление “герба” с вероятностью p = 1=2) или последовательное бросание n раз игральной кости (здесь успехом можно считать, например, появление шестерки с вероятностью p = 1=6). Эти две реальные схемы испытаний являются примером идеального соответствия схеме испытаний Бернулли.

2.Последовательность n выстрелов стрелк´а по мишени можно лишь приближенно рассматривать как схему испытаний Бернулли, так как независимость результатов стрельбы может нарушаться либо из-за “пристрелки” спортсмена, либо вследствии его утомляемости.

3.Испытания n изделий в течение заданного срока при контроле уровня их надежности, как правило, хорошо согласуются с моделью испытаний по схеме Бернулли, если на испытания поставлены идентичные образцы.

При рассмотрении схемы испытаний Бернулли основной задачей является нахождение вероят-

ности события Ak, состоящего в том, что в n испытаниях успех наступит ровно k раз, k = 0;n. Для решения этой задачи используют следующую теорему, обозначая вероятность P(Ak) через Pn(k).

Теорема 4.3 Вероятность Pn(k) того, что в n испытаниях по схеме Бернулли произойдет ровно k успехов, определяется формулой Бернулли

Доказательство. Результат каждого опыта можно записать в виде последовательности УНН...У, состоящей из n букв “У” и “Н”, причем буква “У” на i-м месте означает, что в i-м испытании произошел успех, а “Н” неудача. Пространство элементарных исходов - состоит из 2n исходов, каждый из которых отождествляется с определенной

последовательностью УНН...У. Каждому элементарному исходу ! =УНН...У можно поставить в соответствие вероятность P(!) = P(УНН...У): В силу независимости испытаний события У,Н,Н,...,У являются независимыми в совокупности, и потому по теореме умножения вероятностей имеем P(!) = piqn¡i; i = 0;n; если в n испытаниях успех “У” имел место i раз, а неуспех “Н”, следовательно, n ¡ i раз.

Событие Ak происходит всякий раз, когда реализуется элементарный исход !, в котором i = k. Вероятность любого такого элементарного исхода равна pkqn¡k.

Число таких исходов совпадает с числом способов, которыми можно расставить k букв “У” на n местах, не учитывая порядок, в котором их расставляют. Число таких способов равно Cnk.

Так как Ak есть объединение (сумма) всех указанных элементарных исходов, то окончательно получаем для вероятности P(Ak) = Pn(k) формулу (4.3).

Формулу (4.3) называют также биномиальной, так как ее правая часть представляет собой (k + 1)-й член формулы бинома Ньютона.

1 = (p + q)n = Cn0qn + Cn1p1qn¡1 + ::: + Cnkpkqn¡k + ::: + Cnnpn:

Набор вероятностей Pn(k), k = 0;n, называют биномиальным распределением вероятностей. Из формулы Бернулли вытекают два следствия.

1. Вероятность появления успеха (события A) в n испытаниях не более k1 раз и не менее k2 раз равна:

=k

18

Это следует из того, что события Ak при разных k являются несовместными.

2. В частном случае при k1 = 1 и k2 = n из (4.4) получаем формулу для вычисления вероятности

Пример 4.3 Монету (симметричную) подбрасывают n = 10 раз. Определим вероятность выпадения “герба”: а) ровно пять раз; б) не более пять раз; в) хотя бы один раз.

Пример 4.4 Вероятность выигрыша на один лотерейный билет равна 0;01. Определим, сколько билетов нужно купить, чтобы вероятность хотя бы одного выигрыша в лотерее была не менее заданного значения Pз = 0;9.

Пусть куплено n билетов. Предположим, что общее число билетов, разыгрывающихся в лотерее велико (во много раз больше купленных билетов). При этом можно считать, что каждый билет выигрывает независимо от остальных с вероятностью p = 0;01. Тогда вероятность получить k выигрышных билетов можно определить, используя формулу Бернулли. В частности, согласно (4.5),

19

Лекция 5

Одномерные случайные величины

Определение случайной величины

Случайной величиной естественно называть числовую величину, значение которой зависит от того, какой именно элементарный исход произошел в результате эксперимента со случайным исходом. Множество всех значений, которые случайная величина может принимать, называют множеством возможных значений этой случайной величины.

Следовательно, для задания случайной величины необходимо каждому элементарному исходу поставить в соответствие число значение, которое примет случайная величина, если в результате испытания произойдет именно этот исход.

Рассмотрим примеры.

Пример 5.1 В опыте с однократным бросанием игральной кости случайной величиной является число X выпавших очков. Множество возможных значений случайной величины X имеет вид

fx1 = 1;x2 = 2;:::;x6 = 6g:

Если вспомнить, как выглядит пространство элементарных исходов в этом опыте, то будет очевидно следующее соответствие между элементарными исходами ! и значениями случайной величины

X:

! = !1 !2 ::: !6

## ::: #

X= 1 2 ::: 6 .

Иными словами, каждому элементарному исходу !i; i = 1;6, ставится в соответствие число i.

Пример 5.2 Монету подбрасывают до первого появления “герба”. В этом опыте можно ввести, например, такие случайные величины: X число бросаний до первого появления “герба” с множеством возможных значений f1;2;3;:::g и Y число “цифр”, выпавших до первого появления “герба”, с множеством возможных значений f0;1;2;:::g (ясно, что X = Y + 1). В данном опыте пространство элементарных исходов - можно отождествить с множеством

fГ;ЦГ;ЦЦГ;:::;Ц:::ЦГ;:::g;

причем элементарному исходу Ц:::ЦГ ставится в соответствие число m + 1 или m, где m число повторений буквы “Ц”.

Пример 5.3 На плоский экран падает частица. Будем считать, что нам известна вероятность попадания частицы в любое (измеримое, т.е. имеющее площадь) множество на экране. Случайными величинами в данном случае будут, например, расстояние X от центра экрана до точки падения, квадрат этого расстояния Y = X2, угол Z в полярной системе координат и т.д. #

Определение 5.1 Скалярную функцию X(!), заданную на пространстве элементарных исходов, называют случайной величиной, если для любого x 2 R множество исходов, для которых X(!) < x, т.е. f! : X(!) < xg является событием.

Функция распределения случайной величины

Для исследования вероятностных свойств случайной величины необходимо знать правило, позволяющее находить вероятность того, что случайная величина примет значение из подмножества ее значений. Любое такое правило называют законом распределения вероятностей, или распределением (вероятностей) случайной величины. Законом распределения, присущим всем случайным величинам, является функция распределения.

20