Файл: Линейная алгебра и геометрия методичка.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.02.2025

Просмотров: 543

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

31

Отметим, что в общем случае АВ≠ВА.

Введем понятие единичной матрицы. Единичной матрицей называется квадратная матрица Е размерности (n × n) , у которой все элементы на главной диагонали равны 1, а остальные нулю.

Например,

единичная

матрица

размерности

(3 × 3)

имеет

вид

1

0

0

E =

0

1

0

.

Элементы

единичной матрицы

часто

обозначают

0

0

1

1

i = j

символом

δij , где δij = 0

i ≠ j .

Отметим, что для любой матрицы А той же размерности имеет

место равенство АЕ=ЕА=А.

Для квадратной матрицы определено понятие обратной

матрицы.

обратной к матрице

Матрица

A−1

называется

А

если

выполнено A−1 А=А A−1 =Е.

Если определитель матрицы А не равен нулю, то матрица А

имеет обратную.

Далее

мы изложим два способа вычисления

обратной

матрицы.

Первый

способ

позволяет

вычислять

элементы

обратной

матрицы

по

готовой формуле. Если обозначить aij - элементы

матрицы

А ( aij ), cij -

элементы обратной матрицы

A−1 ( cij ),

-

определитель

матрицы

А, то имеем cij =

Aji

, где

Aji обозначено

алгебраическое дополнение к элементу a ji в матрице А.

Приведем пример.

2

1

1

Найти матрицу обратную А, если A =

1

− 3

2 .

− 4

2

5

Вычисление обратной матрицы удобно проводить по схеме. 1. Вычисляем определитель матрицы А разложением по первой строке.

= 2

− 3 2

−1

1

2

+1

1

− 3

= 2 × (−7) −1×1 +1× (2) = −13 .

− 4 5

2

5

2

− 4

32

2.По заданной матрице находим транспонированную матрицу AT . (Напомним, что транспонированная матрица получается

из матрицы А путем замены ее строк столбцами, причем каждая строка заменяется столбцом с тем же номером.)

2

1

2

1

− 3

AT =

− 4 .

2

1

5

3. В транспонированной матрице

AT каждый

элемент

заменяем

на

его

алгебраическое

дополнение.

Получаем

− 7

− 9

5

−1

8

матрицу

− 3 .

10

2

− 7

4.Полученную матрицу делим на определитель и получаем обратную матрицу.

7

9

−5

1

− 7

− 9 5

13

13

13

1

−8

3

A−1 =

−1

8

− 3

=

.

(−13)

13

13

13

2 10 − 7

− 2

−10 7

13

13

13

Рекомендуем самостоятельно умножить А на A−1 и убедиться, что найденная матрица является обратной.

Второй способ нахождения обратной матрицы называется методом присоединенной матрицы. Суть метода состоит в следующем. Если некоторой последовательностью элементарных преобразований строк матрица А приведена к единичной, то та же последовательность элементарных преобразований приводит единичную матрицу к обратной. Последовательность действий при этом методе напоминает метод Жордана-Гаусса.

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

Прежде чем перейти к изложению метода напомним некоторые понятия.

Произведение матриц.

Произведение матриц АВ=С определено только тогда, когда число столбцов в первом множителе (матрица А) равно числу столбцов во втором множителе (матрица В). Результат произведения (матрица С) имеет столько строк, сколько у первого множителя (матрицы А), число столбцов матрицы С равно числу столбцов у второго множителя (матрицы В). Ниже будет указан способ вычисления элементов матрицы С.

33

Пусть A(aij ) размерности

(m × k) ,

B(bij ) - (k × n) . Тогда C(cij )

(С=АВ) имеет размерность

(m × n) .

Элементы матрицы cij

l=k

вычисляются по формуле cij = ∑ailblj = ai1b1 j + ai2b2 j +....+aik bkj .

l=1

(То есть элементы строки с номером i в первой матрицы умножаются на соответствующие элементы столбца с номером j во второй матрице и полученные произведения складываются.)

Рассмотрим пример.

2

0

1

3

4

Найти матрицу С=АВ, если

1

A =

2

, B

=

0 .

3

4

5

2

Поскольку

первый

множитель

имеет

две

строки,

а второй

два

столбца,

то

матрица С имеет

размерность (2 × 2) .

c

c

C =

11

12

.

Определим элементы матрицы С.

c21

c22

При вычислении c11 берем первую строку матрицы А - (2

0

1) и

3

первый

столбец

матрицы В

1 ,

почленно

перемножаем

и

5

складываем c11 =2 × 3+0 × 1+1 × 5=11.

Аналогично находим :

4

c12 . Первая строка А - (2 0 1), второй столбец В- 0 , тогда

2

c12 =2 × 4+0 × 0+1 × 2=10;

3

c21 . Вторая строка А - (3 2 4), первый столбец В - 1 , тогда

5

c21 =3 × 3+2 × 1+4 × 5=31;

4

c22 . Вторая строка А - (3 2 4), второй столбец В- 0 , тогда

2

c22 =3 × 4+2 × 0+4 × 2=20.

11

10

Ответ: C =

.

31

20

Отметим, что в общем случае АВ≠ВА.

34

Введем понятие единичной матрицы. Единичной матрицей называется квадратная матрица Е размерности (n × n) , у которой все элементы на главной диагонали равны 1, а остальные нулю. Например, единичная матрица размерности (3 × 3) имеет вид

1

0

0

E =

0

1

0 . Элементы

единичной матрицы часто обозначают

0

0

1

1

i = j

символом

δij , где δij =

0

i ≠ j .

Отметим, что для любой матрицы А той же размерности имеет

место равенство АЕ=ЕА=А.

Для квадратной матрицы определено понятие обратной

матрицы.

называется обратной к матрице

Матрица

A−1

А если

выполнено A−1 А=А A−1 =Е.

Если определитель матрицы А не равен нулю, то матрица А

имеет обратную.

Далее мы

изложим два

способа вычисления

обратной

матрицы.

Первый способ позволяет

вычислять элементы

обратной

матрицы

по

готовой формуле. Если обозначить aij - элементы

матрицы

А ( aij ), cij -

элементы обратной матрицы

A−1 ( cij ),

-

определитель

матрицы

А, то имеем cij =

Aji

, где

Aji обозначено

алгебраическое дополнение к элементу a ji в матрице А.

Приведем пример.

2

1

1

Найти матрицу обратную А, если A =

1

− 3

2 .

− 4

2

5

Вычисление обратной матрицы удобно проводить по схеме. 2. Вычисляем определитель матрицы А разложением по первой строке.

= 2

− 3 2

−1

1

2

+1

1

− 3

= 2 × (−7) −1×1 +1× (2) = −13 .

− 4 5

2

5

2

− 4

3.По заданной матрице находим транспонированную матрицу AT . (Напомним, что транспонированная матрица получается

35

из матрицы А путем замены ее строк столбцами, причем каждая строка заменяется столбцом с тем же номером.)

2

1

2

1

− 3

AT =

− 4 .

2

1

5

5. В транспонированной матрице

AT каждый

элемент

заменяем

на

его

алгебраическое

дополнение.

Получаем

− 7

− 9

5

−1

8

матрицу

− 3 .

10

2

− 7

6.Полученную матрицу делим на определитель и получаем обратную матрицу.

7

9

−5

1

− 7

− 9 5

13

13

13

1

−8

3

A−1 =

−1

8

− 3

=

.

(−13)

13

13

13

2 10 − 7

− 2

−10 7

13

13

13

Рекомендуем самостоятельно умножить А на A−1 и убедиться, что найденная матрица является обратной.

Второй способ нахождения обратной матрицы называется методом присоединенной матрицы. Суть метода состоит в следующем. Если некоторой последовательностью элементарных преобразований строк матрица А приведена к единичной, то та же последовательность элементарных преобразований приводит единичную матрицу к обратной. Последовательность действий при этом методе напоминает метод Жордана-Гаусса.

Решим этим методом предыдущий пример.

Сформируем матрицу размерности (3 × 6) , где первые три столбца эта матрица А, а следующие три единичная матрица Е.

2

1

1

1

0

0

1

− 3

2

0

1

0 . Что бы получить в верхнем левом углу единицу,

− 4

5

0

0

2

1

разделим первую строку на 2.

1

1

1

1

0

0

2

2

2

1

1

0

. Добьемся того, чтобы все элементы первого

− 3

2

0

− 4

2

5

0

0

1

столбца, кроме первого стали нулевыми. Для этого из второй строки

Смотрите также файлы