Файл: Линейная алгебра и геометрия методичка.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.02.2025

Просмотров: 540

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

9

2.[aG ×b ]= −[b × aG].

3.[kaG ×b]= [aG × kb]= k[aG ×b].

4.[aG × (b + cG)]= [aG ×b]+[aG × cG].

Заметим, что [a × a] = 0.

Тогда искомая площадь параллелограмма S равна

G

G

G

1

G

1

G

G

1

G G

1

1

G

G

G

G

1

G

G

[c

× d

]

=

(2a +

b) ×

(

a

−b)

=

2 •

[a

× a

]

+

•

[b

× a

]− 2[a

×b

]−

[b

×b

]

=

2

2

2

2

2

2

1 G

G

G

G

9 G

G

9

G

G

9

G

=

0 −

[a

×b

]−

2[a ×b

]− 0

=

−

[a

×b]

=

[a

×b

]

=

a

b

sinϕ =

4

4

4

4

=

9

•8 •12 •

3

= 108

3 .

2

4

G

− 92

92

Ответ: cosψ =

, прdG cG =

(cd )

= −

, S=108

3 .

G

388

112

112

d

Задача 3. Найти вектор a ,

если a b = {2;1;−1}, a cG = {0;3;−2},

(adG ) = 6 , где d = {11; ;1}.

Прежде чем перейти к решению вспомним два факта, касающиеся скалярного произведения векторов.

1.Два вектора a и b перпендикулярны тогда и только

тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. a b (abG ) = 0 .

2.Если в ортонормированном базисе координаты векторов

a

и b

соответственно равны aG = {X1 ;Y1 ; Z1

}, b = {X2 ;Y2 ; Z2

}, то

GG

(ab) = X1 X2 +Y1Y2 + Z1Z2 .

Решение. Пусть aG = {x; y; z}, где x, y, z - неизвестные.

G

Так как a b , то(ab) = 0 . Отсюда 2x+y-z=0.

Так как a c , то(ac) = 0 . Отсюда 3y-2z=0.

Так как

G

(ad ) = 6 , то x+y+z=6.

Для нахождения неизвестных получаем систему уравнений

x + y + z = 6,

3y − 2z = 0,

2x + y − z = 0.

Решим систему методом Крамера. Определитель системы

1

1

1

3

− 2

1

1

= (−3 + 2) + 2(−2 − 3) = −11 .

=

0

3

− 2

= 1

+ 2

1

−1

3

− 2

2

1

−1

(вычислен разложением по первому столбцу).

10

1

1

3

− 2

1

1

= 6(−3 + 2) = −6 .

6

x =

0

3

− 2

= 6

+ 2

1

−1

3

− 2

0

1

−1

(вычислен разложением по первому столбцу).

1

6

1

0

− 2

= −6(0 − (−4)) = −24 .

y =

0

0

− 2

= −6

2

−1

2

0

−1

(вычислен разложением по второму столбцу).

z =

1

1

6

= 6

0

3

= 6(0 − 6) = −36.

0

3

0

2

1

2

1

0

(вычислен разложением по третьему столбцу).

Тогда x =

x =

6

,

y =

y

=

24

, z =

z

=

36

.

11

11

11

Приведем второй способ решения этой задачи, использующий

некоторые свойства векторного произведения.

Напомним,

что векторное произведение векторов [aG ×b], это

вектор перпендикулярный каждому из векторов a

и b .

Если векторы

a

и

b

в

ортонормированном

базисе имеют

координаты

aG =

{X1 ;Y1 ; Z1}

,

b = {X2 ;Y2 ; Z2 }

,

то

координаты

векторного произведения могут быть вычислены по формуле

[aG ×b]=

iG

Gj

k

X1

Y1

Z1

.

X2 Y2 Z2

Перейдем

к

решению.

Поскольку

неизвестный

вектор

a перпендикулярен векторам b

]

и c , то он параллелен их векторному

[

, где λ -неизвестное число.

произведению. Тогда a = λ b × cG

iG

Gj

Имеем bG

× cG

]

k

=iG

1

−1

− Gj

2

−1

+ kG

2

1

=

2

1

−1

=

[

3

− 2

0

− 2

0

3

0

3

− 2

=i + 4 j + 6k = {1;4;6}.

G

G

]

[

={λ; 4λ;6λ}. Так как

Тогда a = λ b × c

(ad ) = 6 , то λ+ 4λ+6λ=6.

11λ=6. λ=

6

6

24

36

. Значит, вектор a имеет координаты a =

;

;

.

11

11

11

11

6

24

36

Ответ: a =

;

;

.

11

11

11

11

Задача 4. Найти точку пересечения прямой, проходящей через точки А(4;6;8) и B(5;8;9), с плоскостью (XOY).

Пусть

точка

M(x;y;z) является

искомой точкой. Поскольку эта точка

лежит в плоскости (XOY), то z=0.

Так как векторы

→

→

AM и

AB лежат на

одной прямой, то они коллинеарны.

Напомним

что

векторы

aG = {X1 ;Y1 ; Z1

},

b = {X2 ;Y2 ; Z2 }

коллинеарны тогда, и только тогда,

когда

X1

=

Y1

=

Z1

.

Y

X

2

Z

2

2

Напомним

формулу

вычисления

координат

вектора,

соединяющего

две

точки

M1 (x1 , y1 , z1 ) и

M2 (x2 , y2 , z2 ) :

M1→M2 = {x2 − x1 ; y2 − y1 ; z2 − z1}.

→

= {1;2;1} ,

→

Тогда AB

AM = {x − 4; y − 6;−8}. Из условия их коллинеарности

получаем

x − 4

=

y − 6

= −8 .

1

2

1

Следовательно:

x − 4

= −8 , x-4=-8, x=-4;

1

y 2− 6 = −8 ; y-6=-16; y=-10. Ответ: M(-4;-10;0).

Задача 5. Средствами векторной алгебры найти точку пересечения плоскости, проходящей через точки А(1;2;1), B(-3;-3;4), C(2;-1;3) с осью Z.

Так как точка М лежит на оси Z, то она имеет координаты M(0;0;z), где z - неизвестное число. Так как точки А, В, С, М лежат в одной плоскости,

то векторы

→

→

→

AM ,

AC ,

AB -

компланарны. Следовательно, их

смешанное

произведение

равно

нулю.

Напомним,

что

смешанное

произведение

трех

векторов

aG = {X1 ;Y1 ; Z1

},

b = {X2 ;Y2 ; Z2 }

,

12

cG = {X3 ;Y3 ; Z3 }по

определению равно

(

a

b c) = ([

a

×b] c)

и

вычисляется по формуле

bG c) =

X1

Y1

Z1

.

(

a

X2

Y2

Z2

X3

Y3

Z3

Так как

→

→

→

AM ={-1;-2;z-1},

AB ={-4;1;3},

AC ={1;-3;2}, то из условия

→ →

→

( AM AB AC )=0 получаем уравнение для определения z.

(Отметим, то полученное уравнение аналогично рассмотренному в задаче 1).

1

− 2

z −1

= 0, (−1)

1 3

− (−2)

− 4

3

+ (z −1)

− 4

1

= 0 ,

− 4

1

3

− 3 2

1

2

1

− 3

1

− 3

2

-11-22+11(z-1)=0, 11z=44. Z=4.

Ответ: M(0;0;4).

Задача 6. Средствами векторной алгебры найти расстояние от точки A(3;2;5) до прямой, проходящей через точки B(1;4;9) и C(3;7;1).

Расстояние от точки А до прямой ВС равно

высоте h треугольника АВС, проведенной

из вершины А.

Для площади треугольника

известна

формула SABC =

1

BC h .

Площадь

2

треугольника

равна

половине

площади

параллелограмма,

построенного

на

векторах

→

и

→

BA

BC .

Используя

свойства

векторного

произведения,

имеем

S A B C

=

B A × B C

.

Поскольку

длина

стороны

ВС равна

→

,

1

BC

→

→

2

получаем следующую формулу для вычисления расстояния

→

→

2SABC

BA×

BC

.

h =

=

BC

→

BC

→

→

=

4 + 9

+ 64 =

77

.

→

BC ={2;3;-8}.

BC

BA ={2;-2;-4}.

iG

Gj

kG

− 2 − 4

2

−

4

G

2

− 2

→

→

=

G

−

G

= {28;8;10} .

BA

× BC

2

− 2

− 4

= i

3 −

8

j

2

8

+ k

2

3

2

3

− 8

−

B A ×

B C

= 7 8 4 + 6 4 + 1 0 0 = 9 4 8 ; h =

948

. Ответ: h =

948

.

→

→

77

77

Смотрите также файлы