Файл: Линейная алгебра и геометрия методичка.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.02.2025

Просмотров: 547

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

36

вычтем первую, из третьей строки вычтем первую умноженную на 2. Получаем

1

1

1

1

0

0

2

2

2

− 7

3

−1

. Добьемся того, чтобы элемент, стоящий на

0

1

0

2

2

2

0

0

−5

4

−1

1

пересечении второй строки и второго столбца, был равен 1. Для этого разделим вторую строку на −27 .

1

1

1

1

0

0

2

2

2

− 3

1

− 2

0

1

Добьемся того, чтобы все элементы

7

7

7

0 .

−5

0

4

−1

0

1

второго столбца, стоящие ниже второго были равны нулю. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на 5.

1

1

1

1

0

0

2

2

2

− 2

0

1

− 3

1

. Чтобы элемент на пересечении третьей

7

7

7

0

13

− 2

−10

0

0

1

7

7

7

строки и третьего столбца был равен 1, разделим третью строку на

137 .

1

1

1

1

0

0

2

2

2

− 2

0

1

− 3

1

0

. Для того чтобы все элементы третьего

7

7

7

7

− 2

−10

0

0

1

13

13

13

столбца, лежащие выше третьего стали нулевыми, ко второй строке прибавим третью, умноженную на 73 , и из первой вычтем третью,

умноженную на 21 .

37

1

1

0

15

10

− 7

26

2

26

26

0

1

0

1

−8

3

.

Чтобы

все элементы

второго столбца,

13

13

13

− 2

−10

7

0

0

1

13

13

13

стоящие

выше второго были равны нулю, вычтем из первой строки

вторую, умноженную на

1

.

2

1

7

9

−5

1

0

13

2

13

13

0

1

0

1

−8

3

.

Таким

образом, слева

от вертикальной

13

13

13

− 2

−10

7

0

0

1

13

13

13

черты мы получили единичную матрицу, тогда справа от

вертикальной

черты мы имеем обратную. Таким образом

7

9

−5

13

13

13

A−1 =

1

−8

3

.

13

13

13

− 2

−10

7

13

13

13

Отметим, что для матрицы большой размерности второй метод существенно более удобен, нежели первый.

Изложим суть метода применения обратной матрицу к решению системы n линейных уравнений с n неизвестными. В векторно-матричной форме система уравнений имеет вид

AX = h , где А - матрица системы, X - вектор-столбец неизвестных, h - вектор-столбец свободных членов. Если A−1 - обратная матрица, то имеем

A−1 AX = A−1h ; EX = A−1h ; X = A−1h .

Пример. Решить систему уравнений.

x + y − z = −5,

3x − 2y + 4z = 42,

5x − 2y − 3z = 8.

38

1

1

−1

Матрица системы A =

3

− 2

4

. Вектор столбец неизвестных

− 2

5

− 3

XG

x

. Вектор столбец свободных членов hG

−5

= y

=

42

.

8

z

Найдем обратную матрицу первым способом. Определитель данной матрицы вычислен ранее и равен =39.

Транспонированная матрица равна

1

3

5

1

− 2

AT =

− 2 .

4

−1

− 3

После замены каждого

элемента на алгебраические дополнения

14

5

2

29

2

получаем матрицу

− 7 .

7

4

−5

1

14

5

2

Тогда обратная матрица равна

A−1

=

29

2

− 7 .

39

4

7

−5

14

5

2

39

39

39

A−1

=

29

2

−

7

. Решение имеет вид

39

39

39

4

7

−5

39

39

39

14

5

2

x

39

39

39

29

2

− 7

−5

y

=

42

.

39

39

39

z

4

7

−5

8

39

39

39

Вычисляя произведение,

получаем

14

5

2

156

(−5) +

42 +

8

x

39

39

39

39

4

29

2

(−7)

117

y

=

(−5) +

42 +

=

−

=

−

3 .

39

39

39

8

39

z

4

(−5) +

7

42 +

(−5)

234

6

8

39

39

39

39

39

Линии второго порядка.

Определение. Линией второго порядка называется линия,

уравнение которой в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет вид:

Ax2 + 2Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 .

Привести уравнение линии к простейшему виду - значит найти систему координат, в которой уравнение линии имеет наиболее простой вид.

Приведем основные простейшие уравнения кривых второго порядка.

Уравнения эллипса. Каноническое уравнение эллипса:

x

2

+

y

2

= 1, a > b .

a

2

b

2

К простейшим уравнениям эллипса относится также уравнение

x

2

+

y

2

= 1, a < b .

a

2

b

2

Уравнения гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы:

x2

y2

b

−

= 1 . Прямые

y = ±

x

a2

b2

a

- асимптоты гиперболы.

К простейшим уравнениям гиперболы относится также

уравнение вида

x

2

−

y

2

= −1.

a

2

b

2

39

40

Уравнения параболы. Каноническое уравнение параболы: y2 = 2 px , (p >0).

К простейшим уравнениям параболы относятся уравнения вида:

y2 = −2 px ;

x2 = 2 py

.

x2 = −2 py

Пусть в уравнении линии второго порядка коэффициент В не равен нулю. Найдем систему координат ( X1 О Y1 ) с началом в точке О, повернутую по отношению к системе (XOY) против часовой стрелки на угол ϕ, такую, что в этой системе координат уравнение линии не содержит произведения координат x1 y1 . Связь между координатами

точки М в исходной и повернутой на угол ϕ системах определяется формулами:

40

Смотрите также файлы