), или M(X+Y)= M(X)+M(Y).

9. Пусть Х – дискретная случайная величина, распределенная по биномиальному закону распределения с параметрами n и р. Докажите, что М(Х)=nр, D(Х)=nр(1-р).

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых может появиться событие А с вероятностью р, так что вероятность противоположного события Ā равна q=1-p. Рассмотрим сл. величину Х – число появления события А в n опытах. Представим Х в виде суммы индикаторов события А для каждого испытания: Х=Х₁+Х₂+…+Х_n. Теперь докажем, что М(Х_i)=р, D(Х_i)=np. Для этого рассмотрим закон распределения сл. величины, который имеет вид:

Х	0	1
Р	Р	q

Очевидно, что М(Х)=р, случайная величина Х² имеет тот же закон распределения, поэтому D(Х)=М(Х²)-М²(Х)=р-р²=р(1-р)=рq. Таким образом, М(Х_i)=р, D(Х_i)=pq. По теореме сложения математических ожиданий М(Х)=М(Х₁)+..+М(Х_n)=nр, D(Х)=D(Х₁)+…+D(Х_n)=npq=np(1-р).

10. Пусть X – дискретная случайная величина, распределенная по закону Пуассона с параметром . Докажите, что M(X ) = D(X ) = λ .

Закон Пуассона задается таблицей:

X	0	1	2	3	…
P	λ−e	λλ−e	λλ−e!22	λλ−e!33	…

Отсюда имеем:

=

---

Таким образом, параметр λ, характеризующий данное пуассоновское распределение, есть не что иное как математическое ожидание величины X. Это легко понять, если вспомнить, что формулы Пуассона получились как предельный вариант формул Бернулли, когда , причем ∞→n∞→nλ = np. Поскольку для биномиального закона математическое ожидание равно np, то неудивительно, что для пуассоновского закона M(X) = . Более того, мы можем предположить, что дисперсия X тоже будет равна λ, поскольку для биномиального закона D(X) = npq и 1 при →q. Действительно, непосредственный подсчет дисперсии подтверждает это предположение, однако мы не приводим его здесь из-за сложности выкладок. Ниже мы выведем эти формулы более простым способом. Таким образом, для закона Пуассона

1. M(X) = λ, D(X) = λ

11. Пусть Х – дискретная случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром р. Докажите, что M (X) = 1/Р.

Геометрический закон связан с последовательностью испытания Бернулли до 1-го успешного А (события), р=р(А)

х	1	2	…	n	…
Р	р	pq	…	Pqn-1	…

---

12. Докажите, что коэффициент корреляции случайных величин х и у удовлетворяет условию .

Определение. Коэффициентом корреляции двух слу­чайных величин называется отношение их ковариации к произведе­нию средних квадратических отклонений этих величин: p_xy=K_xy/«сигма»_х«сигма»_х. Из определения следует, что р_ху=р_ух=р. Очевидно также, что коэффициент корреляции есть безразмерная величина. Отметим свойства коэффициента корреляции.

1. Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке [-1;1],т.е. -1<р<1.Из неравенства

Тк As и Ex не меняются при меняющихся заменах, а любое равномерное распределение на отрезке может быть получено линейной заменой из любого другого равномерного распределения, например, из равномерного распределения на отрезке, то достаточно посчитать As и Ex для этого распределения.

As=μ₃/σ³, σ=√D, μ₃=M[(x-M(x)³]

Ex= μ₄/σ⁴-3

Плотность f_x=1/(b-a)=1, μ₃= S^b _a fx(t)tdt== S^b _a tdt=t²/2 в пределах от a до =(b-a)²/2

D== S^b _a fx(t)t²dt=(b-a)³/3

σ=√D=√(b-a)³/3 

As=μ₃/σ³=((b-a)²/2)/( √(b-a)³/3 )

Ex= μ₄/σ⁴-3=((b-a)⁵ /5)/(( b-a)³/3)² - 3

μ₄= M[(x-M(x)⁴] fx(t)tdt= S^b _a t⁴dt=(b-a)⁵ /5

13. Как вычисляется дисперсия в случае распределения с плотностью f (x)? Докажите, что для случайной величины X с плотностьюдисперсия D(X ) не существует, а математическое ожидание M(X ) существует.

Дисперсия абсолютно непрерывной случайной величины.

Дисперсия абсолютно непрерывной случайной величины X с функцией плотности f(x) и математическим ожиданием m = M(X) определяется таким же равенством, как и для дискретной величины

---

Из равенства (5.26) следует, что справедлива следующая формула

Поскольку формула (5.29) может быть записана в следующем виде

то формулу (5.30) можно представить таким образом

1. 

В случае когда абсолютно непрерывная случайная величина X сосредоточена на промежутке [a, b], формулы (5.30), (5.32) примут вид

1. .

Дисперсия непрерывной случайной величины определяет степень рассеивания значений, принимаемых случайной величиной, вокруг ее математического ожидания.

Среднее квадратичное отклонение, или стандартное отклонение, непрерывной случайной величины X определяется так же, как и для дискретной случайной величины:

Начальным моментом порядка k (k принадлежит N), свободная величина Х называется мат.ожиданием k-й степени Х.

Центральным моментом порядка k СВ Х называется мат.ожидание k-й степени отклонения:

Теорема: если Х и У независимые СВ, то

Док-во:

Докажем связь начальных и центральных моментов:

---

f(_xy)=d(f_x(x))/dy и наоборот

По определению:

Компоненты Х и У абсолютно непрерывного случайного вектора называются независимыми, если

Пример: прямоугольник , в котором вектор (х,у) равномерно распределен.

F(x;y)= иначе

При решении уравнения найдем

а)

б)

Аналогично для

Компоненты Х и У – независимые

Неравенство Маркова: если x0, a>0, то P(Xa)  M(X)/a

Н-во Чебышева: пусть X – случ. величина, у кот есть M(X)=m и D(X)=a, тогда  >0 справедливо н-во P(|X-m|)  D(X)/² Док-во: P(X)  m/ - н-во Маркова. |X-m|; (X-m)²/²1;

P(|X-m|) = P((X-m)²/²1)  M((X-m)²/²) = 1/² M((X-m)²) = D/²; P(|X-m|) D(X)/².

Выборочная дисперсия D_b- среднее арифметическое квадрата отклонения наблюдаемого значения признака от их среднего значения Хв. Если все значения х₁+х₂+…+х_n выборки v n различны, то D_B=

Если значения признака х₁,х₂,…х_n имеют соответствующие частоты n₁,…n_k; n₁+…+n_k=n

D_B=

D=

D== ==

---

Смотрите также файлы

• Решение задач по теории вероятностей.doc

• ГОСТ Р 52601-2006.pdf

• Теория автоматического управления.doc

• Экономика деловых отношений.doc

• Лекции по физике.pdf