1°. Теорема Чебышева. Неравенство Чебышева позволяет доказать ряд важных теорем, объе-диненных одним общим названием "закон больших чисел". Основная из этих теорем принадлежит самому П.Л. Чебышеву.

1. Теорема 10.1. (теорема Чебышева). Пусть имеется бесконечная последовательность X₁, X₂, … независимых случайных величин с одним и тем же математическим ожиданием m и дисперсиями, ограниченными одной и той же постоянной:

Тогда, каково бы ни было положительное число , вероятность события

стремится к единице при

Доказательство. Положим,

.

В силу свойств математического ожидания имеем:

.

Далее, так как величины независимы, то

.

Сопоставив полученное неравенство с неравенством Чебышева:

,

будем иметь:

1. 

Это показывает, что с ростом n вероятность события стремится к 1.

Смысл теоремы Чебышева можно пояснить следующим примером. Пусть требуется измерить некоторую физическую величину m. В силу неизбежных ошибок результат измерения будет случай-ной величиной. Обозначим эту величину X; ее математическое ожидание будет совпадать с измеряе-мой величиной m, а дисперсия равна некоторой величине D (характеризующей точность измеритель-ного прибора). Произведем n независимых измерений и обозначим:

X₁ – результат первого измерения;

X₂ – результат второго измерения

и т.д. Совокупность величин X₁, X₂, …, X_n представляет собой систему n независимых случайных ве-личин, каждая из которых имеет тот же закон распределения, что и сама величина X. Среднее ариф-метическое этих величин тоже является, конечно, случайной величиной. Однако с увеличением n эта величина почти перестает быть случайной, она все более приближается к постоянной m. Точная количественная формулировка этой близости состоит в том, что событие становится как угодно достоверным при достаточно большом n.

---

Если в каждом из п независимых испытаний вероятность р появления события А постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности р по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

Другими словами, если - сколь угодно малое поло­жительное число, то при соблюдении условий теоремы имеет место равенство . Доказательство. Обозначим через Х₁ дискретную случайную величину—число появлений события в первом испытании, через Х₂—во втором, ..., Х_n—в n-м испы­тании. Ясно, что каждая из величин может принять лишь два значения: 1 (событие А наступило) с вероят­ностью р и 0 (событие не появилось) с вероятностью 1—р=q. Можно ли применить к рассматриваемым величинам теорему Чебышева? Можно, если случайные величины по­парно независимы и дисперсии их ограничены. Оба усло­вия выполняются. Действительно, попарная независимость величин X₁, Х₂, . . ., Х_n следует из того, что испытания независимы. Дисперсия любой величины X_i (i= 1, 2, . .., n) равна произведению pq, так как p+q=1,то произве­дение pq не превышает 1/4 и, следовательно, дисперсии всех величин ограничены, например, числом С =1/4. Применяя теорему Чебышева (частный случай) к рас­сматриваемым величинам, имеем Приняв во внимание, что математическое ожидание а каждой из величин X_i (т. е. математическое ожидание числа появлений события в одном испытании) равно ве­роятности р наступления события, получим Остается показать, что дробь (X₁+X₂+…X_n)/n равна относительной частоте т/п появлений события А в испытаниях. Действительно, каждая из величин X₁,X₂,…X_n при появлении события в соответствующем испытании принимает значение, равное единице; следовательно, сумма X₁+X₂+…+X_n равна числу m появления события в n испытаниях, а значит, Учитывая, это равенство, окончательно получим

. Итак, теорема Бернулли утверждает, что при относительная частота стремится по вероятности к p.

---

Х – биномин. Случайная величина с параметрами n и p

Если Х – случайная величина, явл-ся суммой большого числа независимых случайных величин, то случайная величина Х-МХ/ςх имеет распределение, близкое к стандартному нормальному, т.е.

Р{α≤X-MX/ςx≤β} = =Ф(β)-Ф(α) Х – число успехов в серии из n испытаний Х=Х1+Х2+…Хn

Где Хi=0, если в i-ом успеха не было, 1, если успех был. Р{α≤(X-np)/√npq≤β}= Ф(β)-Ф(α)

Р{np+α√npq≤x≤np+β√npq}

---

Смотрите также файлы

• Решение задач по теории вероятностей.doc

• ГОСТ Р 52601-2006.pdf

• Теория автоматического управления.doc

• Экономика деловых отношений.doc

• Лекции по физике.pdf