Файл: Lektsii_po_mekhanike.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.03.2025

Просмотров: 886

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

~

~

µ

R

µR

Рис. 27

Рис. 28

5. Невесомый стержень.

K

~

± N

~

N

Реакция невесомого шарнирно прикрепленного стержня направлена вдоль оси стержня или вдоль прямой, соединяющей шарниры (рис. 30).

Рис. 29

Рис. 30

17

Система сходящихся сил

z

~

6

F3

Определение. Система сил, все линии действия которых пере-

~

µ

F2

секаются в одной точке, называется сходящейся.

]

Система сходящихся сил имеет равнодействующую, вектор си-

~ y

лы которой определяется сложением векторов сил по правилу

7~

j F1-

w ~

параллелограмма и проходит через точку, в которой сходятся

FN

F...

линии действия системы сил.

ª

x

Рис. 31

Теорема. (Вариньон) Момент равнодействующей силы для системы сходящихся сил относительно

произвольной точки равен сумме моментов всех составляющих сил относительно той же точки.

18 Система параллельных сил

Определение. Система сил, в которой векторы сил имеют параллельные линии действия, является

параллельной системой сил.

18.1 Случай двух параллельных сил, направленных в одну сторону

?

~

? FB

~

FA

Рис. 32 Дана система двух параллельных сил (рис. 32). Проведем через точки и прямую и добавим к

системе эквивалентную нулю систему из двух равных по величине и противоположно направленных

сил ~ и ~ 0 (рис. 33). Новая система из четырех сил ~ , ~ 0, ~A, ~B эквивалентна системе из двух

G G G G F F

~ ~ 0

, которые

исходных сил. Но новую систему можно заменить системой из двух сил (рис. 34) R и R

можно перенести по линиям действия в точку пересечения S и сложить по правилу параллелограмма

(рис. 35).

S

R~ 0

®

R

~

~

R

?R

~

B

~ 0

~

A

B

~

0

A

B

G A

G

G

G

¾

-

¾

-

C

?

?R~ 0

R

~

?

~

R

®

?

~

R

®

FB

~

~

FB

FA

FA

Рис. 33

Рис. 34

Рис. 35

~

~

~

Результирующая сила R = FA + FB эквивалентна исходной системе сил (рис. 35). Модуль ре-

зультирующей R = FA + FB .

Сила параллельна исходной системе сил и равна по величине сумме их значений. Из геометрии

следует, что

AC

= FB .

BC

FA

Таким образом, система двух параллельных сил, направленных в одну сторону, приводится к одной силе, эквивалентной системе из этих параллельных сил; причем линия действия новой силы параллельна линиям исходных сил и делит расстояние между ними в отношении, обратно пропорциональном их величинам, а величина силы равна сумме величин исходных сил.

18.2Случай двух параллельных сил, направленных в противоположные стороны

Аналогично можно показать, что система двух параллельных сил, не равных по величине и на-

правленных в противоположные стороны, эквивалентна одной силе ~ , направленной параллельно

R

исходным силам в сторону большей силы, причем линия действия эквивалентной силы делит отрезок, соединяющий точки приложения исходных сил внешним образом (рис. 36) в соотношении:

~

AC

FB

FB

=

.

BC

FA

6

~

R

6

A

B

C

?

~

FA

Рис. 36

Модуль результирующей R = FB − FA.

19 Трение

19.1Сила трения скольжения

Если два тела I и II взаимодействуют друг с другом, соприкасаясь в точке

~

~

A, то всегда реакцию RA, действующую, например со стороны тела II и

RA

NA

K

6

приложенную к телу I, можно разложить на две составляющие: NA, на-

правленную по общей нормали к поверхности соприкосновении тел в точке

I

A, и Fc, лежащую в касательной плоскости. Составляющая NA называется

нормальной реакцией, сила Fc называется силой трения скольжения

— она препятствует скольжению тела I по телу II. В соответствии с тре-

~

тьим законом Ньютона на тело II со стороны тела I действует равная по

¾Fc

модулю и противоположно направленная сила реакции.

A

II

Рис. 37

Ее составляющая, перпендикулярная касательной плоскости, называется силой нормального давления.

Сила трения Fc = 0, если соприкасающиеся поверхности идеально гладкие.

Сила трения всегда лежит на общей касательной плоскости к поверхностям соприкосновения. Величину силы трения, как и всякой другой реакции опоры, можно найти из условия равновесия покоящегося тела. Предельное же значение силы трения определяется из закона экспериментально установленного Ш.Кулоном в 1781 г.

Ftr = f N.

Величина предельной силы трения зависит от материала соприкасающихся тел и нормальной реакции. При трении дерева о дерево 0.4 < f < 0.7, металл о металл 0.15 < f < 0.25. Все сказанное относится к так называемому "сухому трению", т.е. трению, не зависящему от скорости движения. Для сил трения в самом общем случае существует большое число экспериментальных и теоретических зависимостей.

19.2Сила трения качения

Рассмотрим цилиндр, покоящийся на горизонтальной плоскости, когда на него действует горизонтальная сила Q; кроме неё действуют сила тяжести P , а также нормальная реакция N и горизонтальная реакция плоскости (сила сцепления с плоскостью) Fc. Заметим, гладкая плоскость не имеет силы Fc, а N имеется всегда при наличии контакта.

I r

~

Q

-

~

P

?

~

~

6

Fc ¾

N

I

~

~

Q

?

Q

-

-

~

Mtr

~

P

P

?

~

? ~

~

~

6

6

Fc

N

Fc

¾

N

¾

δ

δ

Рис. 38 Рис. 39 Рис. 40

Как показывает опыт, при достаточно малом модуле силы Q цилиндр остаётся в покое. Но этот факт нельзя объяснить, если удовлетвориться введением сил, изображенных на рис. 38. Согласно этой схеме равновесие невозможно, так как главный момент всех сил, действующих на цилиндр −Qr, отличен от нуля. Для устранения отмеченного несоответствия с опытом необходимо отказаться от гипотезы абсолютно твердого тела и учесть, что в действительности цилиндр и плоскость вблизи точки контакта деформируется и существует некоторая площадка контакта конечной ширины 2δ. Если под действием внешних сил цилиндр будет катится направо, то реакция опоры будет также смещена направо. Цилиндр будет катиться направо, поворачиваясь в каждый момент вокруг

некоторой точки плоскости, к которой приложены реакции N и Fc (рис. 39). Считая деформацию малой, заменим эту систему сил системой, изображенной на рис. 40. К цилиндру приложена пара сил с моментом Mtr = N δ. Этот момент называется моментом силы трения качения. Коэффициент трения δ качения имеет размерность длины.

20 Центры тяжести простейших фигур

20.1Центр тяжести треугольника

Центр тяжести треугольника с вершинами A, B, C находится в точке пересечения его медиан.

xo = (xA + xB + xC )/3, yo = (yA + yB + yC )/3.

y

B

6

yc

C

A-x xc

Рис. 41

20.2 Центр тяжести дуги окружности

y

6

xc =

R sin α

α

R

α

-

x

α

xo

Рис. 42

В частности, для дуги полуокружности будем иметь xc = 2πR

20.3Центр тяжести кругового сектора

y

6

xc =

2R sin α

R

3α

α

-

x

α

xo

Рис. 43

В частности, для сектора в виде полукруга получим xc = 4R

3π

21 Динама

Второй статистический инвариант:

~ ~

(15)

I2 = FO · MO = FxMx + FyMy + Fz Mz

Определение. Совокупность силы и пары сил с моментом, коллинеарным силе, называется динамическим винтом или динамой. Динамический винт представляет собой совокупность силы и пары сил, действующей в плоскости, перпендикулярной силе.

~

~

6F0

6F0

~

~

~

F0

F0

6M0

6

6

µ

~

?

µ

ª

O

M0

O ª

Рис. 44

Рис. 45

Если второй статический инвариант не равен нулю, то систему можно привести к динаме. Условие коллинеарности главного вектора и главного момента записывается следующим образом:

pFO = M

где p — параметр (шаг) винта, имеющий размерность длины. Таким образом,

~ ~

~

~

(16)

pFO = MO − OO

× FO

Пусть Fx, Fy, Fz , MOx, MOy , MOz — проекции главного вектора и главного момента на оси x, y, z

MOx − (yFz − zFy)

=

MOy − (yFx − zFy )

=

MOz − (yFy − zFy)

= p.

(17)

Fx

Fz

Fx

Это и есть уравнение центральной оси.

22 Кинематика. Введение

Кинематика — наука о движении геометрических тел. В ней рассматривается само движение без изучения причин, вызывающих это движение. Впервые термин “кинематика"ввел А.Ампер (1775– 1836), взяв за основу греческое 1 слово κινηµα, означающее движение.

Простейшим объектом в кинематике является точка. В кинематике точки рассматриваются следующие функции времени t: радиус-вектор ~r(t), скорость ~v(t) и ускорение ~a(t):

d~r(t)

d~v(t)

d2~r(t)

~v(t) =

, ~a(t) =

=

.

dt

dt

dt2

1Андре Мари Ампер — французский физик, механик, математик.

Смотрите также файлы