Файл: Lektsii_po_mekhanike.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.03.2025

Просмотров: 885

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

n

n

n

n

~

X

~

~

X

~

~

~

X

~

X

~ ~

LO1

=

O1O × Fk + OAk

× Fk

= O1O × Fk + OAk × Fk

k=1

k=1

k=1

k=1

Здесь

n

~

P

n

~

~

k=1 Fk — главный вектор системы, а

k=1 OAk × Fk — главный момент относительно

Следовательно,

~

−

~

~

×

~ .

точки O. P

LO1

LO = O1O

R

11 Условия равновесия системы сил

Для равновесия системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент системы относительно любого центра приведения были равны нулю:

R = 0; LO = 0.

Для проекций векторов R и LO на координатные оси уравнения равновесия имеют вид:

Rx = 0; Ry = 0; Rz = 0; Lx = 0; Ly = 0; Lz = 0.

(10)

или

n

n

n

X

X

X

Fkx = 0;

Fky = 0;

Fkz = 0

(11)

k=1

k=1

k=1

(суммы проекций сил на оси координат)

n

n

n

X

~

X

~

X

~

(12)

Mx(Fk) = 0;

My(Fk) = 0;

Mz (Fk) = 0

k=1

k=1

k=1

(суммы моментов сил относительно осей координат)

12 Пара сил

¸

B

~

~0

F

F

A®

Определение. Парой сил называется система из двух сил, равных по величине и противоположно направленых. Пара сил полностью определяется своим моментом, так как главный вектор пары всегда равен нулю.

Рис. 17

~ ~ ~0

~

~ ~

~ ~0

~

~ ~

~0

~

~0

~ ~0

,

R = F + F

; LO = MO(F ) + MO(F

) = OA × F + OB × F

= OB × F

− OA × F

но

~

~ ~

~

~

~

~

~

~

~0

~

~0

,

OB = OA + AB AB = OB − OA LO = (OB − OA) × F

= AB × F

(13)

(14)

~

~

~0

. Момент пары не зависит от выбора центра приведения.

т.е. LO = AB × F

Пары сил с одинаковыми моментами действуют на твердое тело одинаково, поэтому пару сил можно видоизменять, как угодно, сохраняя момент.

Момент пары перпендикулярен плоскости пары. Абсолютное значение вектора момента пары равно произведению абсолютного значения силы пары на плечо пары.

Теорема. Произвольную систему сил всегда можно привести к одной силе и одной паре.

13 Теорема об эквивалентности нулю системы сил

Теорема. Система сил, приложенных к твердому телу, эквивалентна нулю тогда и только, когда у этой системы равны нулю главный вектор и главный момент.

13.1Доказательство необходимости

~

~

~

~

~

Дано: {P1

, P2

, . . . , Pn} {0}. Доказать: R = 0, LO = 0.

По теореме о приведении произвольной системы сил к двум силам данную систему сил можно

привести к двум силам. Поэтому можно рассматривать новую систему сил: ~1 ~2 вместо исходной.

{F , F }

Согласно аксиоме о двух силах, приложенных к абсолютно твердому телу, эти силы эквивалентны нулю тогда и только тогда, когда они равны по модулю, действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны.

Следовательно, ~ ~1 ~2 и ~ O ( — произвольная точка).

R = F + F L = 0 O

13.2Доказательство достаточности

~

~

= 0.

Дано: R = 0, LO

~

~

~

Доказать: {P1, P2

, . . . , Pn} {0}

~

~

~

~

~

~

~

~

Систему {P1, P2, . . . , Pn} можно привести к {F1

, F2

}. Так как R = 0, F1

+ F2

Но тогда возможны два случая.

1. Силы лежат на одной прямой

= 0

~

~

2.

или F1

= −F

µ~ F1

0

ª~ F2

Рис. 18

Но тогда ~1 ~2 и, следовательно, ~1 ~2 ~n

{F , F } {0} {P , P , . . . , P } {0}

2. Силы лежат на параллельных прямых

µ~ A

F1

0

ª~ F2

Рис. 19

Покажем, что ~ A . По теореме о связи главных моментов системы сил относительно разных

L = 0

точек ~A ~O ~ ~ . Но ~ и ~ O по условию. Следовательно, ~ A .

L − L = AO × R R = 0 L = 0 L = 0

14 Теорема об эквивалентности систем сил

Теорема. Две системы сил, действующие на твердое тело, эквивалентны тогда и только тогда, когда у них равны между собой главные векторы и главные моменты.

14.1Доказательство необходимости

~

~

~

~

~

~

Дано: {F1

, F2

, . . . , Fn} {G1

, G2

, . . . , Gm}.

~ ~

~ ~

~

~ ~ ~

Доказать: R(F ) = R(G),

LO(F ) = LO(G)

По теореме о приведении произвольной системы сил к двум силам любую систему сил можно при-

~

~

} и

вести к двум силам. Поэтому можно вместо исходных рассматривать новые системы сил: {F1

, F2

~

~

~

~

~

~

— не те же самые, что в исходных системах).

{G1

, G2

} (здесь F1

, F2

, G1

, G2

Рассмотрим три рисунка одного тела, на которое действуют системы сил.

µ

~

µ

~

~

G

1

~

G

1

F1

µ

F1

µ

~0

G1

Iª

~0

G2

~ R

~ R

I

G2

II

G2

III

~

~

F2 R

F2 R

Рис. 20

Рис. 21

Рис. 22

~

~

~

0

~ 0

Имеем I III (по условию), I II (по построению), следовательно, II III и {F1

, F2

, G1, G2}

{0}.

~ ~ ~ 0

) = 0

~ ~

~ 0

) = 0 по теореме об эквивалентности нулю системы сил.

Тогда R(F + G

и LO(F + G

~

~

~ 0

~ 0

~

~

~

~

~

~

~

~

и

Отсюда 1) F1

+ F2 + G1 + G2

= F1

+ F2

− G1

− G2

= 0, следовательно, F1

+ F2

= G1

+ G2

~ ~

~ ~

R(F ) = R(G).

~ ~

~ ~ 0

) = 0,

~ ~

~ ~

~ ~

~ ~

2) LO(F ) + LO(G

LO(F ) − LO(G) = 0 и LO(F ) = LO(G). Что и требовалось доказать.

14.2Доказательство достаточности

~ ~

~ ~ ~ ~

~ ~

~ ~

~

~ ~

~

Дано: R(F ) = R(G), LO(F ) = LO(G). Доказать: {F1, F2

, . . . , Fn} {G1, G2

, . . . , Gm}.

Рассмотрим те же самые0 рисунки0

(20-22). Здесь I II (по построению).

~

~

~

~

Покажем, что {F1, F2

, G1

, G2} 0.

~ ~

~ ~ ~ ~

~ ~

~ ~

~ ~ 0

~ ~

~ ~ 0

)

По условию R(F ) = R(G),

LO(F ) = LO(G), следовательно, R(F ) = −R(G

), LO(F ) = −LO(G

~

~

~ ~ 0

) = 0

~

~

~

~ 0

) = 0. И по теореме об эквивалентности нулю системы сил

или R(F ) + R(G

и LO

(F ) + LO(G

~

~

~ 0

~ 0

{F1

, F2

, G1, G2} 0.

~

~

~ 0

~ 0

III. Значит, и I III. Что и требовалось доказать.

Но если {F1

, F2

, G1

, G2} 0, то II

15 Приведение системы сил к простейшей системе

15.1Инварианты

Определение. Главный вектор ~ системы сил не зависит от выбора центра приведения и называется

R

первым статическим инвариантом I1.

Определение. Скалярное произведение главного вектора и главного момента 2 ~ ~O систе-

I = R · L

мы сил не зависит от выбора центра приведения и называется вторым статическим инвариантом.

0

~ ~ 0

~ ~ ~ ~

~

~ ~ ~

~

) = R · LO

0

0

O × R = 0, поскольку вектор R пер-

Так как I2(O

= R · LO + R · O

O × R, но R · O

~

~

0

O × R.

пендикулярен векторному произведению O

15.2Классификация пространственных систем сил

~ ~

I R = 0, LO = 0

~~

II R = 0, LO =6 0

~~

III а) R =6 0, LO = 0

~ ~

R=06 ,L =06

b) ~ ~ O

R·LO =0

~ ~

R=06 ,L =06

IV ~ ~ O

R·LO =06

Система эквивалентна нулю

Система приводится к паре сил с моментом ~ O

L

Система приводится к единственной силе в точке O (система имеет равно-

действующую ~ ). Примерами таких систем являются: система сходящихся

R

сил, плоская система сил, не сводящаяся к паре, система параллельных сил.

Система приводится к единственной силе в новой точке . Система приводится к моменту и силе в новой

точке C, что называется динамическим винтом.

16 Виды связей

Определение. Все то, что ограничивает перемещения данного тела в пространстве, называют связью.

Определение. Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя тем или иным его перемещениям, называется силой реакции связи или просто реакцией связи. Направлена реакция связи в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу.

Виды связей:

1. Гладкая плоскость (поверхность) или опора.

B

~

N1

~

µ

N

µ

~

6~

Реакция N гладкой поверхности или опоры направ-

лена по общей нормали к поверхностям соприкасаю-

N2

A

щихся тел в точке их касания и приложена в этой

~

Рис. 23

Рис. 24

точке. N1 AB.

2. Нить. Реакция натянутой нити направлена вдоль нити к точке ее подвеса.

M~

T

Рис. 25

3.Цилиндрический шарнир. Реакция цилиндрического шарнира может иметь любое направление в плоскости, перпендикулярной оси шарнира.

±

~

R

α

Рис. 26

4.Сферический шарнир и подпятник. Реакция сферического шарнира может иметь любое направление в пространстве.

Смотрите также файлы