ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.03.2025
Просмотров: 546
Скачиваний: 2
Первый тензор называется шаровым, он характеризует изменение объема тела без изменения его формы. Второй тензор, называемый девиатором, характеризует изменение формы.
В дальнейшем нам понадобится знание экстремальных значений касательных напряжений, так как они в некоторых случаях являются ответственными за работоспособность элементов конструкций. Экстремальные касательные напряжения действуют на площадках, параллельных одной из главных осей и образующих с двумя другими осями угол π/4. По величине эти напряжения равны
12 |
1 2 |
, |
13 |
1 3 |
, |
23 |
2 3 . |
(2.17) |
|||
2 |
2 |
2 |
При этом на площадках с экспериментальными касательными напряжениями имеют место и нормальные напряжения, которые равны
12 |
1 2 |
, |
13 |
1 3 |
, |
23 |
2 3 . |
(2.18) |
|||
2 |
2 |
2 |
Плоское напряженное состояние
Рассмотрим важный для приложений случай плоского напряженного состояния, реализуемого, например, в плоскости Oyz. Тензор напряжений в этом случае имеет вид
Рис.2.7. Схема плоского напряженного состояния в исходном состоянии.
Произвольная площадка характеризуется углом α, при этом вектор п имеет компоненты: nx cos( ) , nx sin( ) . Нормальное и касательное напряжения на
наклонной площадке выражаются через тензор напряжений следующим образом. Составим уравнения равновесия прn 0 , прt 0
dF y dFy cos( ) z dFz sin( ) zy dFy sin( ) yz dFz cos( ) 0 ,
dF y dFy sin( ) z dFz cos( ) zy dFy cos( ) yz dFz sin( ) 0 .
Так как |
dFz dFsin( ) , dFy |
dFcos( ) , то окончательно получим |
|||||||||||
y |
z |
y |
z |
cos(2 ) |
sin(2 ) |
(2.19) |
|||||||
2 |
2 |
yz |
|||||||||||
z |
y |
sin(2 ) yz cos(2 ) |
(2.20) |
||||||||||
2 |
|||||||||||||
Так как на главных площадках касательное напряжение отсутствует, то приравнивая нулю выражение (20), получим уравнение для определения угла наклона главных площадок между осью Оу и нормалью п
tg (2 ) |
2 yz |
(2.21) |
||
y |
z |
|||
Наименьший положительный корень уравнения (3) обозначим через α1., второй корень – α2 = α1+π/2. Эти направления соответствуют взаимно перпендикулярным главным площадкам (рис. 8).
Рис.2.8. Положение главных площадок и напряжений
При этом грани х=const являются главными с нулевыми главными напряжениями.
Инварианты тензора напряжений равны
(2.22)
а характеристическое уравнение принимает вид
Корни этого уравнения равны
y z |
y z |
2 |
||||||||||
1,3 |
yz2 , |
|||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||
2 |
0 |
(2.23) |
||||||||||
Экстремальные касательные напряжения имеют место на площадках, ко- |
||||||||||||
торые определяются углами наклона 1,2 |
1,2 |
/ 4 , и определяются через глав- |
||||||||||
ные напряжения как |
13 |
1 3 |
(2.24) |
|||||||||
2 |
||||||||||||
или через исходные напряжения |
||||||||||||
y |
z |
2 |
||||||||||
13 |
yz2 |
(2.25) |
||||||||||
2 |
||||||||||||
Упрощенное плоское напряженное состояние
Тензор напряжений в этом случае имеет вид
0 |
0 |
0 |
|||
~ |
y |
||||
0 |
yz |
||||
0 |
zy |
0 |
|||
Нормальное и касательное напряжения на наклонной площадке выражаются через тензор напряжений следующим образом.
y |
y |
cos(2 ) |
sin(2 ) , |
|||||||||||||||||||||||||
yz |
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
y |
sin(2 ) |
cos(2 ) . |
(2.26) |
|||||||||||||||||||||||||
yz |
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
Угол наклона главных площадок между осью Оу и нормалью п |
||||||||||||||||||||||||||||
tg (2 ) |
2 yz |
(2.27) |
||||||||||||||||||||||||||
y |
||||||||||||||||||||||||||||
Главные напряжения равны |
||||||||||||||||||||||||||||
y |
y |
2 |
||||||||||||||||||||||||||
1,3 |
yz2 , |
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
0 . |
(2.28) |
||||||||||||||||||||||||||
Экстремальные касательные напряжения имеют место на площадках, ко- |
||||||||||||||||||||||||||||
торые определяются углами наклона 1,2 |
1,2 / 4 , и определяются через глав- |
|||||||||||||||||||||||||||
ные напряжения как |
||||||||||||||||||||||||||||
13 |
1 |
3 |
(2.29) |
|||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
или через исходные напряжения |
||||||||||||||||||||||||||||
y |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
13 |
yz2 . |
(2.30) |
||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
Чистый сдвиг
Тензор напряжений в этом случае имеет вид
0 |
0 |
0 |
|||
~ |
0 |
0 |
|||
0 |
0 |
||||
Угол наклона главных площадок между осью Оу и нормалью п равен π/4
Главные напряжения равны 1,3 |
, 2 |
0 |
Линейное напряженное состояние
Тензор напряжений в этом случае имеет вид
0 |
0 |
0 |
|||
~ |
0 |
0 |
|||
0 |
0 |
0 |
|||
Главные напряжения равны
1 ,2 2 0 .
Вопросы к лекции.
1.Что такое напряжение и деформация.
2.Напряженное состояние в точке. Тензор напряжений.
3.Типы напряженного состояния в точке
4.Главные напряжения в точке.
5.Плоское и упрощенное плоское напряженное состояние в точке.
6.Напряженное состояние – чистый сдвиг.
Лекция 3.
Механические свойства конструкционных материалов
Конструкционные материалы в процессе деформирования вплоть до разрушения ведут себя по разному. Если поведение характеризуется существенным изменением формы и размеров, при этом к моменту разрушения развиваются значительные деформации, не исчезающие после снятия нагрузки, то такие материалы называются пластичными. Если разрушение наступает при весьма малых деформациях, то такие материалы называются хрупкими. Однако одни и те же конструкционные материалы при одних условиях проявляют себя как пластичные материалы, при других – как хрупкие.
При решении задач на растяжение и кручение мы уже встретились с необходимостью иметь некоторые экспериментальные данные , на основе которых можно было бы построить теорию. К их числу относится закон Гука, где основными экспериментальными характеристиками являются модуль упругости и коэффициент Пуассона. Их значение зависит от химического состава материала, от условий термической и механической обработки.
Часто, кроме модуля упругости и коэффициента Пуассона, необходимо иметь другие характеристики прочностных свойств материала ( пластичность, работа при переменных режимах и так далее).
Эксперименты можно разделить на две группы по цели исследования:
1.установить механические характеристики прочности ( предел пропорциональности, предел текучести и другие);
2.обосновать гипотезы, применяемые для построения методик расчета (закон Гука, принцип Сен-Венана, коэффициент Пуассона и другие).
Диаграмма деформирования конструкционных материалов
Основным опытом для определения механических характеристик конструкционных материалов является опыт на растяжение призматического образца центрально приложенной силой, направленной по продольной оси; при этом в средней части образца реализуется однородное напряженное состояние. Форма, размеры образца и методика проведения испытаний определяются соответствующими стандартами, например, ГОСТ 34643—81, ГОСТ 1497–73.
По ГОСТу dl 5;10 . Испытательная машина задает перемещение стержня, а
усилие определяется как реакция на перемещение.
По результатам испытаний строится зависимость P f ( l) усилия как функция от абсолютного перемещения или зависимость f ( ) – напряжения
P |
как функция от относительной деформации |
l |
, которая называется |
||
F0 |
l |
||||
диаграммой деформирования. Здесь F0 – площадь сечения образца до испытания. Опыты на растяжение образцов выявляют некоторые общие свойства конструкционных материалов.
На рис. показана кривая деформирования при растяжении образцов из малоуглеродистой стали.
Для малоуглеродистых сталей на диаграмме деформирования можно выделить несколько характерных зон.