147
Лекция 19
3.2.2. Закон Кулона. Расчёт напряжённости электрического поля методом суперпозиции
Закон Кулона: сила взаимодействия двух точечных зарядов
F12 |
|
q q |
r12 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4πε |
r |
3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
12 |
(см. РИС. 19.1; на этом рисунке заряды q1 и q2 одного знака).
Напряжённость электрического поля точечного заряда
Силовые линии электрического поля точечного заряда представлены на РИС. 19.2.
Любую систему заряженных тел можно разбить на точечные заряды (или заряды другой формы, поле которых легко рассчитать) и затем просуммировать (проинтегрировать) напряжённости полей этих зарядов.
ПРИМЕРЫ
1) Электрическое поле равномерно заряженного тонкого кольца
По тонкому кольцу равномерно распределён заряд Q > 0 (РИС. 19.3). Найти E z (z – ось кольца).
Находим напряжённость электрического поля в точке A на оси кольца (OA = z). Разобьём кольцо на точечные заряды dq (на РИС. 19.3 показаны два малых заряда dq и dq′, равные по модулю и расположенные диаметрально противоположно). По принципу суперпозиции полей
|
E |
|
dE , |
|
|
dE |
– напряжённость электрического поля малого заряда dq. |
|
Векторы напряжённости электрического поля каждого из этих зарядов одинаковы по модулю (если одинаковы по модулю все заряды dq) и направлены так, что концы этих векторов образуют конус с вершиной в точке A (на РИС. 19.3 штриховой линией показано основание этого конуса). Про-
z
A
θ
Q dq′
R
O
dq
Рис. 19.3
148
екции этих векторов на плоскость кольца компенсируются, поэтому суммарный вектор E направлен вдоль оси z:
E Ez (при z > 0).
Вычислим Ez. Напряжённость поля точечного заряда
угол θ показан на РИС. 19.3. Величины r и θ одинаковы для всех элементов dq:
|
|
r |
|
R |
z |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
cosθ |
z |
|
|
|
|
z |
|
. |
|
r |
R |
|
|
z |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим эти формулы в выражение для dEz: |
|
|
|
|
dE |
|
|
|
dq z |
|
|
|
. |
z |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
z |
2 |
3 2 |
|
|
|
4πε |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом выражении все величины – постоянные, кроме dq. Проинтегрируем по q:
|
Q |
|
dq |
z |
|
|
|
|
Qz |
|
|
|
|
|
Ez |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
z |
2 |
3 2 |
|
|
|
2 |
z |
2 |
3 |
|
|
0 4πε |
|
R |
|
4πε |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предельные случаи
а) z = 0 E = 0.
б) z → ∞ E = 0.
|
в) z >> R E |
|
|
Qz |
|
|
z |
4πε z |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2) Электрическое поле равномерно заряженного тонкого прямого стержня
Тонкий стержень длиной AB = l имеет заряд Q > 0, равномерно распределённый по длине стержня. Найти напряжённость электрического поля в точке, находящейся на перпендикуляре к стержню, проходящем через его середину, на расстоянии b (точка C на РИС. 19.4).
Разобьём стержень на малые отрезки, имеющие малый заряд dq. Напряжённость поля точечного заряда
dE 4dqπε0
по принципу суперпозиции полей
E dE
149
A
O · |
|
α |
α0 |
|
|
x |
|
|
|
dq |
dα |
|
dα |
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
rdα |
|
Суммарный вектор напряжённости электрического поля будет направлен перпендикулярно стержню, так как вследствие симметрии распределения заряда
на направление стержня компенсируют друг друга. Поэтому
|
|
|
E Ex . |
|
|
Найдём Ex: |
|
|
|
|
|
dE |
|
dE cosα |
dq cosα |
, |
|
x |
4πε r2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
угол α показан на РИС. 19.4. Это выражение нельзя интегрировать, так как в нём присутствуют три зависящих друг от друга переменные: q, r, α. Свяжем их друг с другом; для интегрирования будет удобнее всё выразить через α.
Расстояние от элемента dq до точки C
r cosb α .
Выразим заряд dq. Этот заряд занимает участок стержня длиной dy;
τ – линейная плотность заряда стержня. Так как стержень заряжен равномерно,
τ Ql .
Выразим длину элементарного отрезка dy через угол dα, под которым этот отрезок виден из точки C:
150
Подставим выражения для r и dl в выражение для dEx:
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
dE |
|
|
|
bdα cos α cosα |
|
|
cosαdα . |
x |
4πε l |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
4πε lb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos α b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Проинтегрируем по α: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α0 |
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
α0 |
|
Qsinα0 |
Ex |
|
|
|
cosαdα |
|
|
|
|
sinα |
|
|
4πε lb |
4πε lb |
|
2πε lb |
|
|
α0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
(стержень виден из точки C под углом 2α0). Из РИС. 19.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
sinα0 |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
l |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
l |
|
|
2 |
|
|
l |
|
4b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
Ql |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πε b |
|
|
|
|
|
|
2πε lb l2 |
4b2 |
l2 |
4b2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Предельные случаи
2 |
– поле точечного заряда. |
|
b |
|
– поле длинной нити. Эту формулу мы получим дру-
3.2.3. Поток векторного поля. Теорема Остроградского-Гаусса для напряжённости электрического поля
Элементарный поток
|
|
|
|
|
dΦ EdS |
, |
|
|
|
|
|
|
|
α |
dS направлен по внешней47 нормали к малому участку dS; |
|
· |
|
|
dΦ EdS cosα |
|
|
|
|
|
S |
(см. РИС. 19.5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полный поток вектора E сквозь поверхность S |
|
Рис. 19.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Φ EdS |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
Теорема Остроградского-Гаусса для |
: поток вектора напряжённости электри- |
|
|
ческого поля сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охваченной этой поверхностью, делённой на ε0:
47 Если поверхность S не замкнута, то выбор одного из двух направлений нормали произволен, при этом направление нормали для всех участков dS должно быть одинаковым.
