Файл: Конспект_ИЭЭ_14.pdf

151

Доказательство48 (вывод из закона Кулона)

Рассмотрим точечный заряд q и его электрическое поле. Окружим заряд произвольной замкнутой поверхностью S (РИС. 19.6А). По закону Кулона напряжённость электрического поля точечного заряда

S

б

Рис. 19.6

Телесный угол, под которым из точки, где находится заряд q, видна площадка dS

(см. РИС. 19.6Б). Выразим элементарны й поток через телесный угол:

dΦ qdΩ .

4πε0

Проинтегрируем по полному телесному углу:

Мы доказали теорему для случая одного точечного заряда. Обобщение на случай произвольной системы зарядов проводится по принципу суперпозиции полей:

48 Мы строим курс, постулируя уравнения Максвелла. Это доказательство даётся для того, чтобы продемонстрировать связь уравнений Максвелла с эмпирическими законами электромагнетизма:

в данном случае – III уравнения Максвелла (теорема Остроградского-Гаусса для E ) и закона Кулона, и не входит в экзаменационную программу.

152

Рассмотрим примеры расчёта полей с использованием теоремы ОстроградскогоГаусса для E . Эта теорема полезна в том случае, когда можно выбрать замкнутую поверхность так, чтобы легко было вычислить поток E . Прежде чем решать зада-

чу с помощью теоремы Остроградского-Гаусса, нужно найти направление E методом суперпозиций.

ПРИМЕРЫ

1) Электрическое поле равномерно заряженной сферы

49 Здесь и далее в подобных примерах мы находим именно проекцию векторного поля на указанное направление – величину, которая содержит информацию и о модуле, и о направлении векторного поля. В зависимости от знака заряда проекция напряжённости электрического поля может быть как положительной, так и отрицательной.

153

Выберем поверхность SI в виде сферы радиуса r, концентричной заряженной сфере (РИС. 19.7). В каждой точке этой поверхности (например, в точке A на рисунке)

II. r < R

Теорема Остроградского-Гаусса:

Выберем поверхность SII в виде сферы радиуса r, концентричной заряженной сфе-

ре (РИС. 19.7). Направления EII и dSII показаны на рисунке. Поток напряжённости электрического поля, аналогично выражению для области I,

так как заряды внутрь поверхности SII не попадают. Поэтому

EIIr 0 .

График зависимости Er(r) представлен на РИС. 19.8.

При r = R график Er(r) терпит разрыв, так как на поверхности r = R сосредоточены свободные заряды. Разрывы конечной величины на графиках можно соединять сплошной линией.

154

Er

Рис. 19.8

2) Электрическое поле равномерно заряженной бесконечно длинной тонкой прямой нити

Выберем поверхность интегрирования в виде цилиндра радиуса r (r – расстояние от нити до точки, где измеряется поле – точка A на РИС. 19.9) и произвольной вы-

соты h, ось которого совпадает с нитью. Напряжённость электрического поля направлена радиально и зависит только от r. Векторы внешней нормали направ-

Er dSбок Er Sбок Er 2πrh.

Sбок

Заряд, охваченный поверхностью S,

q S τh

– заряд участка нити длиной h. Получим

156

Лекция 20

3.2.3. Поток векторного поля. Теорема Остроградского-Гаусса для напряжённости электрического поля (продолжение)

3) Электрическое поле равномерно заряженной плоскости

Плоскость равномерно заряжена с поверхностной плотностью σ. Найти зависимость напряжённости электрического поля от расстояния от плоскости: Ex(x).

σ

C

B A

S

Рис. 20.1

Распределение заряда имеет плоскую симметрию. Теорема Остроградского-Гаусса

ната точки, где измеряется поле, – точки A на РИС. 20.1) и произвольного сечения Sторц, расположенного симметрично относительно заряженной плоскости. Напряжённость электрического поля направлена перпендикулярно плоскости и может зависеть только от x. Векторы внешней нормали направлены: для боковой по-

2E dSторц 2ESторц .

Sторц

Заряд, охваченный поверхностью S,

q S σSторц

– заряд участка плоскости площадью Sторц. Получим