Файл: Конспект_ИЭЭ_14.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 31.03.2025

Просмотров: 2465

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

30

– дифференциальное уравнение движения материальной точки (F

– главный

вектор сил, с которыми другие объекты действуют на данную точку). В проекции на оси декартовой системы координат это уравнение представляется в виде трёх дифференциальных уравнений

d

2

x

F

m

2

,

dt

x

d

y

2

F

m

dt

2

y

,

d

z

2

F .

m

2

dt

z

1.4.4. Центр масс механической системы

Внешние силы – силы, описывающие действие объектов, не входящих в данную

механическую систему, на тела, входящие в неё. Будем обозначать такие силы F e

13.

Внутренние силы – силы, описывающие взаимодействие тел, входящих в данную

механическую систему (обозначение

F

i

).

Для любой механической системы из III закона Ньютона следует, что сумма внутренних сил равна нулю:

i

0

.

F

Рассмотрим механическую систему из N материальных точек.

 m1

C

 mi  m2

 mN

Центр масс механической системы – точка, для которой

N

m ρ 0

или

N

m

r r

0

,

i i

i

i C

i 1

i 1

где mi – масса i-ой материальной точки, ρi – радиус-вектор, соединяющий центр масс с i-ой материальной точкой, ri – радиус-вектор i-ой матери-

O

альной точки, rC – радиус-вектор цен-

Рис. 3.4

тра масс. (На РИС. 3.4 точка C – центр

масс, O – начало отсчёта.)

Как найти положение центра масс системы? Из определения центра масс следует

N

N

N

mi ri

m r

m

r

r

i 1

,

i i

i

C

C

M

i 1

i 1

N

где M mi – масса механической системы. В декартовой системе координат

i 1

13 В «живой» лекции лучше использовать обозначения русскими буквами: Fвнеш и т. п.

31

N

i

i

N

i

i

N

i

i

m x

m y

m z

xC

i 1

, yC

i 1

, zC

i 1

.

M

M

M

(3.1)

Если тело (механическая система) центральносимметрично, то его центр масс совпадает с центром симметрии. Если же тело осесимметрично, то центр масс лежит на оси симметрии.

ПРИМЕР

Нахождение центра масс системы двух материальных точек

Две материальные точки массами m1 и m2 находятся на расстоянии l друг от друга (РИС. 3.5). Где находится центр масс системы?

m1

C

m2

O 

xС

l

Рис. 3.5

совместим начало отсчёта O точки массой m2 равна l. Из центра масс системы

Центр масс C системы, очевидно, должен находиться на прямой, соединяющей рас-

xсматриваемые материальные точки. Радиу- сы-векторы, соединяющие центр масс и материальные точки, показаны на РИС. 3.5. Введём ось x, как показано на рисунке, и

сматериальной точкой массы m1; тогда координата формулы (3.1) получим выражение для координаты

x

m x

m x

m l

C

1

1

2

2

2

.

m

m

m m

1

2

1

2

Теорема о движении центра масс: центр масс механической системы движется как материальная точка с массой, равной массе системы, к которой приложена сила, равная равнодействующей внешних сил, приложенных к системе,

MaC F e .

Доказательство

Рассмотрим механическую систему, состоящую из N материальных точек. Дифференциальное уравнение движения i-ой точки

2

r

m

d

i

i

dt

2

e

N

i

i

F ki

F

k 1, k i

,

(3.2)

где

F

e

– равнодействующая внешних сил, приложенных к i-ой точке;

i

ренняя сила, с которой k-я точка действует на i-ую точку. Просуммируем равенства (3.2) по всем N точкам системы:

N

2

N

N N

Fki .

m d

ri F

e

i

i 1

i dt2

i 1

i

i 1 k 1, k i

0

i F ki

–внут-

(3.3)

Второе слагаемое в правой части этого равенства равно нулю, так как оно равно сумме всех внутренних сил, описывающих взаимодействие тел, входящих в рас-

сматриваемую систему. Первое слагаемое есть главный вектор внешних сил F e . Преобразуем левую часть равенства (3.3), учитывая, что ri rC ρi (РИС. 3.4):

32

N

d2r

N

d2 ρ

F

e

,

m

C

m

i

i

dt

2

i

dt

2

i 1

i 1

d2r

N

d2

N

e

.

C

m

m ρ F

dt

2

i

dt

2

i

i

i

1

i 1

d

2

rC a

N

Но

– ускорение центра масс,

m M

– масса системы, а

dt2

C

i 1

i

как точка C – центр масс системы. Поэтому MaC

F

e

, ч. т. д.

N mi ρi i 1

0

, так

1.4.5. Некоторые силы14

1. Гравитационная сила

Сила, описывающая гравитационное воздействие материальной точки15 массой m1 на материальную точку массы m2, находящуюся на расстоянии r от точки мас-

сой m1 (РИС. 3.6):

F12

G

m m

r12

1

2

r

3

2

– закон всемирного тяготения; G 6,67

11 Н м

10

2

кг

янная. Знак «–» означает, что тела притягиваются.

(3.4)

– гравитационная посто-

O

R

M

m

m1

 m2

Рис. 3.6

Рис. 3.7

ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ

Сила тяжести – гравитационная сила вблизи поверхности Земли

F

mg

.

т

Действительно, пусть материальная точка массы m находится вблизи поверхности Земли, т. е. на расстоянии от центра Земли, равном радиусу R Земли (РИС. 3.7). По закону всемирного тяготения (3.4)

F

F

G

g

т

здесь M – масса Земли. Модуль этой силы

F

G

M

m

2

т

R

mM

r

R

3

mg

,

,

14В данном разделе рассматриваются силы, фигурирующие в задачах I семестра.

15В этой формулировке можно заменить слова «материальная точка» на «тело» с поправкой, что r

– это расстояние между центрами масс тел.

33

где

g G

M

9,81

R

2

м

с

2

16 – ускорение свободного падения (вернее, модуль этого

ускорения). По II закону Ньютона

ma

mg

,

вектор g направлен к центру Земли. Центры масс всех тел, падающих свободно (т. е. без каких-либо внешних воздействий, кроме гравитационного) вблизи по-

верхности Земли, движутся с ускорением

2. Сила упругости

g

.

Упругая деформация – деформация тела, которая полностью исчезает после прекращения взаимодействия, являющегося её причиной. Воздействие деформированного тела на тело, вызвавшее деформацию, описывается силой упругости.

Линейная деформация подчиняется закону Гука:

Fупр k

l

,

где

l

– вектор деформации (РИС. 3.8А), k – коэффициент упругости (жёст-

кость) деформируемого тела. Знак «–» означает, что деформированное тело сопротивляется деформации – пытается восстановить форму.

На РИС. 3.8 представлены разные типы деформируемых тел: А) пружина, Б) нить

(сила натяжения

T

) и В) опорная поверхность (сила реакции опоры

N

).

k

m

0

m

m

а

б

в

Рис. 3.8

(На РИС. 3.8 m – масса груза, 0 – положение недеформированной пружины.)

Сила реакции опоры всегда направлена перпендикулярно опорной поверхности от неё, а сила натяжения – вдоль натянутой нити от натягивающего её тела.

Вес тела – сила, описывающая действие тела на опору или подвес; по модулю ра-

вен силе упругости (по III закону Ньютона

P T

или

P

N

).

Природа упругости – в межмолекулярном, т. е. электромагнитном взаимодействии (см. РАЗДЕЛ 0.3), однако, при изучении механики это для нас не имеет значения.

Демонстрация: Динамометры

16 При необходимости проведения вычислений с достаточно высокой точностью следует учиты-

вать, что ускорение свободного падения зависит от географической широты. На широте Москвы g = 9,8156 м/с2.

где Fтр max

34

3. Сила сухого трения

Сила трения – составляющая силы взаимодействия соприкасающихся тел, параллельная поверхности их контакта (РИС. 3.9А). Наличие этой составляющей обу-

словлено неупругими деформациями тел.

Мы рассматриваем сухое трение, т. е. обе соприкасающиеся поверхности являются твёрдыми (в смысле агрегатного состояния; вязкое трение рассматривается в

РАЗДЕЛЕ 2.9.2).

Закон сухого трения (закон Кулона):

F

μN

тр max

,

– максимальное значение модуля силы трения – сила трения скольжения, N – модуль силы реакции опоры, µ – коэффициент трения – безразмерная величина, зависящая от материала и состояния соприкасающихся поверхностей. Направлена же сила трения скольжения всегда против скорости тела относительно опорной поверхности.

Fтр

µN

m

0

µN

F

а

б

Рис. 3.9

График зависимости модуля силы трения от модуля силы F

представлен на

РИС. 3.9Б. До тех пор пока F < µN, тело покоится относительно опорной поверхности, а F = Fтр (наклонный участок на графике). При F ≥ µN тело начинает скользить

и Fтр = Fтр max = µN.

Демонстрация: Сила трения Трение также имеет электромагнитную природу.

1.4.6. Кинематические связи

Кинематическая связь – ограничение, накладываемое на движение тела.

1. Координатная связь

Координатная связь – ограничение, накладываемое на координаты точек и их производные при движении тела.

ПРИМЕР

Тело скользит по горизонтальному рельсу.

Перемещение, скорость и ускорение тела должны быть направлены вдоль рельса (РИС. 3.10):

r xi ;

y,z 0

;

v vx i ;

vy ,vz 0 ;

Рис. 3.10

a ax i ; ay ,az 0 .

x

Смотрите также файлы