Файл: Конспект_ИЭЭ_14.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 31.03.2025

Просмотров: 2469

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

35

2. Нить

При решении многих задач нити полагаются невесомыми и нерастяжимыми.

а) Невесомая нить

Во всех точках нити модуль силы натяжения одинаков:

T const

.

Доказательство

Рассмотрим участок натянутой нити 1-2 (РИС. 3.11). По условию невесомости масса этого участка m = 0. Участки нити, находящиеся по обе стороны от данного участка, действуют на него с

силами T1 и T2 .

m = 0

1 2

Рис. 3.11

Применим к этому участку нити теорему о движении центра масс:

ma T

T

1

2

0

б) Нерастяжимая нить

T2 T1

T1

T2

, ч. т. д

Модуль скорости всех точек нити одинаков:

v const

.

Доказательство

Будем отсчитывать

координаты точек

нити по её длине от некоторой точки

2

(например, одного из концов нити). Рас-

смотрим участок нити 1-2 (РИС. 3.12). Ко-

ордината точки 1 равна l1, координата

точки 2 соответственно равна l2 По усло-

1

вию нерастяжимости длина этого участ-

ка должна

оставаться

постоянной:

l = l2 – l1 = const.

Модули скоростей точек 1 и 2

Рис. 3.12

v

dl1

,

v

dl2

;

1

dt

2

dt

v v

dl

2

2

1

dt

Из этого следует, что равны и

dl

d l

l

0

v

1

2

1

v

, ч. т. д.

dt

dt

2

1

0

тангенциальные ускорения всех точек нити:

aτ2

aτ1

.

1.4.7. План решения задач по динамике17

1.Выбор объекта исследования и его модели: материальная точка, твёрдое тело, механическая система (указать, какие тела в неё входят)

17 Аналогичный план подходит и для решения задач по динамике вращательного движения, в т. ч. с использованием законов сохранения. Различия – в законе, на котором основано решение задачи. Подробное обсуждение этого плана и обучение решению задач проводится на практических занятиях.

Пример решения задачи по динамике рассматривается на СЛЕДУЮЩЕЙ ЛЕКЦИИ.

36

2.Выбор системы отсчёта (в большинстве случаев – лабораторная)

3.Рисунок (или несколько рисунков)

4.Определение воздействующих объектов. Расстановка обозначений на рисунке:

сил, ускорений и т. д.

5.Запись II закона Ньютона (теоремы о движении центра масс) в векторной форме

6.Выбор системы координат (можно вводить разные системы координат для разных тел)

7.Запись закона в проекциях на оси системы координат

8.Подсчёт числа уравнений и числа неизвестных. Запись дополнительных уравнений (другие законы, уравнения связей и т. п.)

9.Решение полученной системы уравнений в общем виде

10.Анализ результата и проверка размерностей18

11.Численный расчёт и оценка его результата

1.4.8. Импульс. Другая форма II закона Ньютона

Преобразуем выражение II закона Ньютона:

ma F

dv

m

F ,

a

dv

dt

dt

d mv

F

dt

– II закон Ньютона в дифференциальной форме.

(3.5)

В этом выражении под знаком дифференциала стоит векторная физическая величина, характеризующая инертность и движение тела – импульс материальной

точки

p mv

;

p

кг м

.

с

Из (3.5) получим

,

d

mv

Fdt

Fdt

– импульс силы. II закон Ньютона можно сформулировать так: изменение

импульса материальной точки равно импульсу силы.

По определению, импульс механической системы равен сумме импульсов тел (материальных точек), входящих в эту систему:

P

i

p

.

Импульс механической системы равен произведению массы M системы на скорость vC её центра масс:

18 Рекомендуется контролировать размерности в течение всего решения задачи.

37

P MvC

.

Доказательство

Исходя из определения импульса механической системы,

(см. РИС. 3.4)19,

сунка ri rC ρi

P

i

i i

i

dr

d

i i

i

p

m v

m

m r

dt

dt

vi

– скорость i-ой материальной точки. В обозначениях этого ри-

. Поэтому

0, т. к. точка C – центр масс

P

d

i C

i i

i

dr

Mv , ч. т. д.

C

m r

m ρ

m

dt

dt

Преобразуем выражение теоремы о движении центра масс:

e

dv

e

d

M v

e

Ma

F

F

C

F

M

C

,

C

dt

dt

dP

F

e

.

dt

Если система замкнута, то

F

e

0

и

dP

0

dt

P

const

– закон сохранения импульса механической системы: импульс замкнутой си-

стемы остаётся неизменным с течением времени.

На самом деле закон сохранения импульса не выводится, а следует из свойств пространства-времени (см. РАЗДЕЛ 1.1.2).

Более подробно закон сохранения импульса будет рассмотрен в ПАРАГРАФЕ 1.6.

19 Разумеется, в «живой» лекции этот рисунок нужно сделать заново.

38

Лекция 4

1.5. Динамика вращательного движения твёрдого тела

1.5.1. Момент силы

Момент силы20 – векторная (псевдовекторная) величина, характеризующая взаимодействие тел.

1. Момент силы относительно точки

Момент силы относительно точки:

M rF

;

A

точка, относительно которой определяется

момент – полюс;

M rF sin

r,F

;

M

Н м.

O

Рис. 4.1

На РИС. 4.1: O – полюс, A – точка приложения

силы; r и F лежат в плоскости рисунка,

M

перпендикулярен плоскости рисунка.

2. Момент силы относительно оси

Момент силы относительно оси:

M

rF

k

,

(4.1)

z

вектор21 момента силы относительно оси всегда направлен вдоль этой оси; направление определяется по правилу правого винта.

Один из способов определения момента произвольно направленной силы относительно оси показан на РИС. 4.2. На этом рисунке изображено трёхмерное твёрдое тело и вектора и линии, лежащие в трёхмерном пространстве. Здесь z – ось, отно-

сительно которой рассчитывается момент силы; k – орт этой оси; A – точка при-

ложения силы F ; плоскость xy – плоскость, проведённая через точку A перпендикулярно оси z; O – точка пересечения плоскости xy с осью z, т. е. ближайшая к точ-

ке приложения силы точка на оси; радиус-вектор r восстановлен из точки O в

точку

M rF

приложения

sin

r,Fxy

.

силы;

Fxy

– проекция вектора силы на плоскость xy;

Можно пользоваться не этим способом, а напрямую определением (4.1). Тогда r – это радиус-вектор, проведённый из любой точки на оси в точку приложения силы.

20Следует обратить внимание студентов на то, что момент силы, а также момент инерции и момент импульса всегда определяется относительно какой-либо точки или оси.

21В большинстве курсов общей физики момент силы, момент импульса относительно оси, а также кинематические величины, характеризующие вращение вокруг неподвижной оси, вводятся как

скалярные алгебраические величины. В нашем же курсе это аксиальные векторы.

39

z

D

h

O A

xy

Рис. 4.2

Плечо силы – это скалярная величина – кратчайшее расстояние от оси до линии

действия силы (отрезок OD = h на РИС. 4.2);

M hF

h rsin

r,F xy

,

xy .

Если линия действия силы

F

лежит в плоскости, перпендикулярной оси z (т. е.

F

Fxy

), то получим соотношение, известное из школьного курса физики: M = hF.

1.5.2. Основное уравнение динамики вращательного движения

Пусть твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси z

(с угловой скоростью ω , угловым ускорением ε ). Разобьём тело на элементарные (малые) фрагменты массами mi (рис. 4.3); расстояние каждого фрагмента от оси вращения равно ri. Запишем II закон Ньютона для i-го фрагмента:

m a F

e

F

i

ki .

(4.2)

i i

i

k i

Здесь ai

– ускорение i-го фрагмента;

F

e

– главный вектор

i

внешних сил, с которыми другие тела действуют на i-ый

i

фрагмент; F ki – внутренняя сила, описывающая действие

k-го фрагмента на i-ый фрагмент.

Умножим равенство (4.2) на ri

слева векторно:

mi

e

i

.

ri ai

ri Fi

ri F ki

k i

z

Oi mi

Рис. 4.3

(4.3)

В правой части этого уравнения

e

ri Fi

сил, приложенных к i-ому фрагменту;

Mi

e

– главный вектор момента внешних

i

i

– сумма моментов внут-

r F ki

Mki

i

k i

k i

ренних сил, приложенных к нему же.

Смотрите также файлы