Файл: Конспект_ИЭЭ_14.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 31.03.2025

Просмотров: 2463

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

331

F(ε)

T1

T2 > T1

0

Рис. 42.4

ε

332

Лекция 43

6.3. Тепловое излучение. Фотонный газ

6.3.1. Тепловое излучение и его характеристики

Тепловое излучение – электромагнитное излучение, испускаемое телами за счёт их внутренней энергии. Оно свойственно всем телам при любой температуре. Речь пойдёт о равновесном излучении, т. е. находящемся в термодинамическом равновесии с излучающим телом.

Энергетическая светимость (интегральная излучательная способность) – энергия, испускаемая телом в единичный промежуток с единичного участка поверхности тела по всем направлениям:

R

dW

T

dSdt

,

RT

Вт м2

.

Спектральная излучательная (испускательная) способность – энергия, ис-

пускаемая с единичного участка поверхности тела в единичный промежуток времени по всем направлениям в единичном интервале частот78 (длин волн):

rω,T

dW

, rλ ,T

dW

;

dSdtdω

dSdtdλ

r

Вт с

, r

Вт

.

2

3

ω,T

λ ,T

м

м

Связь интегральной и спектральной излучательных способностей:

rω,T

dR

, rλ ,T

dR

;

T

T

dω

dλ

RT

rω,T dω

rλ ,T dλ .

0

0

Связь rω, T и rλ, T:

dλ

rω,Tdω rλ,Tdλ

r

r

dω

λ ,T

ω,T

dλ

здесь v – скорость света в среде.

d

2πv

2πv

dω

;

ω

2

ω

2

2

v

2

r

dω ω

4π

2

ω,T

2πvdω

2πvλ

2πv

r

ω,T

2πv

r

2

ω,T

λ

,

(43.1)

Спектральная поглощательная способность – безразмерная величина, равна доле энергии, падающей на поверхность тела в интервале частот от ω до ω + dω, которая поглощается этим телом:

adWпогл . ω,T dWпад

Плотность энергии излучения – энергия излучения в единичном объёме:

78 В этом параграфе частота – это циклическая частота ω. Все формулы, содержащие эту величину,

можно записать через частоту ν 2ωπ .

333

w

dW

, w

Дж

.

T

3

dV

T

м

Спектральная плотность энергии излучения– плотность энергии излучения,

приходящаяся на единичный интервал частот79:

dw

, u

Дж c

u

T

.

ω,T

3

dω

ω,T

м

Связь uω, T и wT:

wT

u

dω

ω,T

0

.

Связь rω, T и uω, T:

rω,T

Доказательство

v uω,T

4

.

(43.2)

Пусть на чёрную (см. 6.3.2) стенку летит поток фотонов, падающих по нормали к поверхности тела. Плотность потока фотонов равна n, т. е. на единичный участок стенки падает в единичный промежуток времени vn фотонов. При поглощении

каждый фотон передаёт стенке импульса

p

ε

, где ε – энергия фотона. Общий

v

импульс, т. е. давление света на стенку,

P np

nε

n ω

.

v

v

Пусть в единичном объёме полости, заполненной равновесным тепловым излучением, находится dnω фотонов с частотой от ω до ω = dω. Энергия этих фотонов

dW εdn

ω

ωdnω

u

dω

ω,T

.

Фотоны летят внутри полости по всем направлениям. Число ударов фотонов о

стенку в единичный промежуток времени равно

dW 4v ωdnω .

Эта же величина равна rω, Tdω. Из этого следует

1 4

vdnω

. Поэтому

r

dω

v

ω,T

4

ωdn

v

u

dω

ω

4

ω,T

rω,T v , ч. т. д.

uω,T 4

Спектральная и интегральная плотность энергии равновесного теплового излучения не зависят от природы излучающего тела, а зависят только от температуры и частоты.

6.3.2. Чёрное и серое тело. Закон Кирхгофа

Серое тело – тело, поглощательная способность которого не зависит от частоты (длины волны) падающего излучения, притом что она меньше единицы:

aω,T aT 1.

79 Аналогично можно ввести uλ, T, aλ, T.

334

Чёрное тело (абсолютно чёрное тело) – тело, поглощающее всё падающее на него излучение:

0

0

aω,T

aT 1 .

Модель чёрного тела

Абсолютно чёрных тел в природе не бывает, но мож-

но создать объект, по своим оптическим свойствам

сколь угодно приближенный к чёрному телу. В за-

крытом сосуде (лучше с зачернённой внутренней по-

верхностью) нужно сделать малое по сравнению с

размерами сосуда отверстие (РИС. 43.1). Если на это

отверстие падает свет, то, проходя через отверстие,

он либо поглощается внутренней поверхностью со-

суда, либо отражается от неё, затем снова падает на

внутреннюю поверхность, опять поглощается или

Рис. 43.1

отражается и т. д. Таким образом, свет,

падающий на

отверстие, практически не выходит из него, т. е. отверстие является чёрным телом.

Демонстрация: Модель абсолютно чёрного тела

Закон Кирхгофа: отношение спектральной поглощательной и излучательной способностей тела не зависит от его природы, а является универсальной функцией частоты (длины волны), равной спектральной излучательной способности чёрного тела;

rω,T r0 .

aω,T ω,T

Доказательство

Пусть внутри чёрной оболочки помещено нечёрное тело (РИС. 43.2). Так как оба тела находятся в равновесии с излучением, энергия, поглощённая участком поверхности нечёрного тела площадью dS в любом малом интервале частот dω за время dt, равно излучённой энергии в том же интервале:

dWпогл dWизл .

По определению спектральной поглощательной способности

dWпогл aω,TdWпад ,

чёрное тело

нечёрное тело

Рис. 43.2

где dWпад – энергия излучения в том же диапазоне, падающего на ту же площадку в тот же промежуток времени; по определению спектральной излучательной способности

dWизл rω,TdωdSdt .

На участок поверхности чёрного тела площадью dS падает за время dt столько же излучения, что и на участок поверхности нечёрного тела той же площади:

dWпад dWпад0 .

335

Но чёрное тело поглощает всё падающее на него излучение и, следовательно, столько же излучает:

dW0 пад

dW0 погл

dW0 изл

r0 dωdSdt

ω,T

.

Из этих равенств следует, что

rω,TdωdSdt aω,Trω0,TdωdSdt arω,T rω0,T , ч. т. д.

ω,T

Демонстрация: Кубок Лесли

6.3.3. Фотонный газ. Подсчёт числа фотонов с энергией от ε до ε + dε

Так как фотоны – бозоны (спин фотона s = 1), они подчиняются статистике БозеЭйнштейна; функция распределения по фазовым ячейкам

f ε

1

ε

μ

i

e

i

1

kT

.

Разберёмся, чему равен химический потенциал μ фотонного газа. Число частиц N ≠ const, так как фотоны непрерывно поглощаются и излучаются. Фотонный газ стремится к минимуму внутренней энергии U за счёт изменения N:

U

0.

N

Но по определению химического потенциала

μ 0

.

U

μ

N

V const

S const

. Поэтому

С учётом равенства нулю химического потенциала функция распределения запишется как

f ε

1

ε

e

1

kT

(здесь и далее в этом разделе мы опускаем индекс i). По определению функции распределения

f ε

где dNε – число фотонов с энергией от ε щих этой энергии.

Число фазовых ячеек в фазовом объёме

ε + dε,

dg

dN

,

ε

dg

до ε + dε, dg – число ячеек, соответствую-

dΓ, в котором энергия частиц лежит ε до

dΓ h32 ,

так как h3/2 – объём фазовой ячейки. Поскольку энергия фотона не зависит от координаты,

dΓ

dxdydz dpxdpydpz VdΓp ,

V

336

где V – объём полости, в которой находится фотонный газ, dΓp – элемент объёма в подпространстве импульсов. Так как энергия фотона зависит только от модуля импульса, а не от его направления, выбираем dΓp в виде тонкого сферического слоя радиуса p и толщины dp (РИС. 42.3):

dΓp

4πp2dp

.

Так как энергия фотона ε = cp (c – скорость света в вакууме; если излучение распространяется в среде, в всех формулах этого параграфа можно заменить c на v),

ε

dε

2

dε

p

,

dp

dΓ

4πε

;

3

c

c

p

c

dg

V 2 4πε2dε

8πV

ε2dε ;

c

3 3

c

3 3

h

h

8πV

2

dN

ε dε

ε

3

3

ε

c h

e

kT

1

или

V

ε

2

dε

dN

.

ε

π

2

c

3

3

ε

1

e

kT

6.3.4. Спектральная излучательная способность чёрного тела

Энергия фотонов с энергией ε до ε + dε в объёме V

dW εdNε .

Так как ε = ħω, спектральная плотность энергии излучения

uω,T

dW

ωdN

ε

.

Vdω

Vdω

Подставив сюда выражение (43.3), получим

ω

V

2

2

dω

3

uω,T

ω

ω

.

V

2

3

3

ω

2

3

ω

π c

1

π c

e

kT

1

e

kT

dω

Из соотношения (43.2) следует, что

c

3

r

u

ω

.

2

2

ω

ω,T

4

ω,T

c

4π

e

kT

1

Из (43.1)

r

2πc r

2πc

8π3c3

4π2c2

1

4π2c2λ2

λ5

λ ,T

λ2 ω,T

λ3

2π c

2π c

1

e λkT

1

e λkT

4π2c2

1

2πc2h

1

.

λ5

2π c

1

λ5

hc

1

e λkT

eλkT

Итак,

(43.3)

Смотрите также файлы